Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (латунь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 30 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 120 MPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 50 mm, E = 120 GPa и допускаемым напряжением 60 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Кручение валовСредняя

Ступенчатый сплошной вал (сталь) заделан в A. Участок AB имеет диаметр 40 mm и длину 0,5 m; участок BC — диаметр 30 mm и длину 0,5 m. На свободном конце C действует крутящий момент 500 N·m. Найдите угол закручивания φ_C конца C в градусах.

T = 500 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 75 kW при 1000 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 8 kN/m от 0 до 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 0 m10 kN @ 6 m15 kN @ 3 m12 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 120 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 160 mm. Толщина основания и полок 14 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 120 mmh = 160 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 25 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mmM = 25 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 160 MPa, σᵧ = −70 MPa и τₓᵧ = 40 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −20 MPa, σᵧ = 90 MPa и τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Найдите эквивалентное напряжение по Мизесу σ_vM.

σ_x = −20 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 40 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 5 kNw = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 2865 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 90·1000/314,2 = 286,5 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 286,5/100000 = 0,002865 = 2865 µε

Ответ

ε = 2865 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 631,5 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·9346 = 1,263 × 10⁹ N

Определяющая деформация

ε = min(0,0006, 0,0005) = 0,0005 (медь)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,0005·1,263 × 10⁹ = 631460 N = 631,5 kN

Ответ

P_max = 631,5 kN

3.Кручение валов

Ответ: φ_C = 2,964 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярные моменты инерции

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Угол закручивания каждого участка

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 500000·500/(80000·251327) = 0,01243 rad

φ_BC = 500000·500/(80000·79522) = 0,0393 rad

Полный угол закручивания

φ_C = 0,01243 + 0,0393 = 0,05173 rad = 2,964°

Ответ

φ_C = 2,964°

4.Кручение валов

Ответ: d = 36,5 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·716197/(π·75)) = 36,5 mm

Ответ

d = 36,5 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 9 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 20·0,5 − 8·0,5·0,25 = 9 kN·m

Ответ

M_x = 9 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 1 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 85,25 kN, R₂ = 32,75 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −45 kN·m, M_C = −10,75, M_D = 11,5, M_E = 6,75, M_F = −10, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = −45 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 63,7 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 120·14 = 1680 mm², y₁ = 7 mm

две полки: A₂ = 2·14·146 = 4088 mm², y₂ = 14 + 146/2 = 87 mm

Центр тяжести

ȳ = (1680·7 + 4088·87)/5768 = 63,7 mm

Ответ

ȳ = 63,7 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 118,9 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

стенка: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·210 + 3600·100)/6400 = 148,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·20³/12 + 2800·(210 − 148,1)² = 1,081 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·200³/12 + 3600·(100 − 148,1)² = 2,034 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,081 × 10⁷ + 2,034 × 10⁷ = 3,115 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 148,1 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·148,1/3,115 × 10⁷ = 118,9 MPa

Ответ

σ_низ = 118,9 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = 9,59 °

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, 160 − −70) = 19,18°

Угол на элементе

θ_p = 9,59°

Ответ

θ_p = 9,59°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_vM = 122,9 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 35 MPa, R = 68,01 MPa

σ₁ = 103 MPa, σ₂ = −33,01 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(103² − 103·(−33,01) + (−33,01)²) = 122,9 MPa

Ответ

σ_vM = 122,9 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,02668 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 6·3000³/(24·2,53 × 10¹¹) = 0,02668 rad

Ответ

θ_A = 0,02668 rad

Это 1,529°.

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 5,086 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 5000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 5000·2500³/(48·1,32 × 10¹²) = 1,233 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 3,853 mm

Сложите

δ_max = 1,233 + 3,853 = 5,086 mm

Ответ

δ_max = 5,086 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 12,02 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4200² = 12016 N = 12,02 kN

Ответ

P_cr = 12,02 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 34,27 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/6,25 = 240

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Ответ

σ_cr = 34,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials