Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 20 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (алюминий) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 50 mm и E = 70 GPa. Длина обоих — 300 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 300 kN. Найдите укорочение δ.

P = 300 kNстержень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 40 mm, длиной 400 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 40 mm, длиной 400 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 30 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (латунь; наружный диаметр 40 mm, внутренний диаметр 30 mm, длина 2 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 250 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 250 N·md_o = 40 mmd_i = 30 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 30 kW при 500 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 30 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 8,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 6 kN/m от 0 до 10 mx = 8,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 35 kN в 2,5 mw = 3 kN/m от 0 до 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 100 mm × 240 mm имеет прямоугольный вырез шириной 50 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 168 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 240 mmвырез: 50 × 20 mmцентр отверстия: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 10 MPa, σᵧ = −20 MPa и τₓᵧ = −50 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 150 MPa, σᵧ = −30 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 30° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 150 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 8 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 30 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,1255 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·9346 = 7,171 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 300000·300/7,171 × 10⁸ = 0,1255 mm

Ответ

δ = 0,1255 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 8,952 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 30000·376991/1,005 × 10⁶ = 11250 N

Напряжение

σ₂ = 11250/1257 = 8,952 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 8,952 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 4,276 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Угол закручивания

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·2000/(39000·171806) = 0,07462 rad

φ = 0,07462·180/π = 4,276°

Ответ

φ = 4,276°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 35,03 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Полярный момент инерции

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 572958·25/408885 = 35,03 MPa

Ответ

τ_max = 35,03 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 38,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Рассеките в x = 8,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 30·8,5 − 6·8,5·4,25 = 38,25 kN·m

Ответ

M_x = 38,25 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 53,13 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2,5 + 3·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 25·2,5 − 3·2,5·1,25 = 53,13 kN·m

Ответ

M_x = 53,13 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 18,73 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

стенка: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·187,5 + 2160·90)/5760 = 150,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·15³/12 + 3600·(187,5 − 150,9)² = 4,88 × 10⁶ mm⁴

стенка: 12·180³/12 + 2160·(90 − 150,9)² = 1,385 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,88 × 10⁶ + 1,385 × 10⁷ = 1,873 × 10⁷ mm⁴ = 18,73 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 18,73 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 112,8 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (24000·120 − 1000·168)/(24000 − 1000) = 117,9 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·240³/12 + 24000·2,087² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

50·20³/12 + 1000·50,09² = 2,542 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 112,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 112,8 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 52,2 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((10 − −20)/2)² + −50²) = 52,2 MPa

Ответ

τ_max = 52,2 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 131 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 60 + 90·0,5 + 30·0,866 = 131 MPa

Ответ

σ_θ = 131 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 2,883 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 8000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 8000·3000³/(3·3,2 × 10¹³) = 2,25 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·3000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 0,6328 mm

Сложите

δ = 2,25 + 0,6328 = 2,883 mm

Ответ

δ = 2,883 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 7,005 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 30000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 7,005 mm

Ответ

δ_max = 7,005 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 12,02 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4200² = 12016 N = 12,02 kN

Ответ

P_cr = 12,02 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 49,35 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Ответ

σ_cr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials