Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 25 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 50 mm и E = 120 GPa. Длина обоих — 800 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 300 kN. Найдите укорочение δ.

P = 300 kNстержень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 105 kNучасток 1: Ø35 mm, 1,5 m, алюминий (E = 70 GPa)участок 2: Ø12 mm, 1,5 m, медь (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 20 kW при 300 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 40 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 7 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 5 kN/m от 0 до 8 mx = 7 m

V_x = kN

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 10 mP = 35 kN в 2 mw = 6 kN/m от 0 до 10 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Полое прямоугольное (коробчатое) сечение имеет наружную ширину B = 220 mm, наружную высоту H = 225 mm и одинаковую толщину стенок t = 14 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

B = 220 mmH = 225 mmt = 14 mm

r = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 100 mm × 240 mm имеет прямоугольный вырез шириной 60 mm и высотой 40 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 144 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 240 mmвырез: 60 × 40 mmцентр отверстия: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 40 MPa и σᵧ = −20 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 80 MPa?

σ_x = 40 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = 80 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 25 mm нагружен осевой растягивающей силой 40 kN вместе с крутящим моментом 200 N·m. На поверхности вала найдите наибольшее главное напряжение σ₁.

d = 25 mmF = 40 kNT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 4 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 11 kNa = 4 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 105 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 105 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,1968 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·9346 = 1,22 × 10⁹ N

Укорочение

δ = 300000·800/1,22 × 10⁹ = 0,1968 mm

Ответ

δ = 0,1968 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 928,4 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 928,4 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 928,4 MPa

Ответ

σ_max = 928,4 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 1,796 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(39000·613592) = 0,03134 rad

φ = 0,03134·180/π = 1,796°

Ответ

φ = 1,796°

4.Кручение валов

Ответ: d = 43,28 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·40)) = 43,28 mm

Ответ

d = 43,28 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = −15 kN

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Рассеките в x = 7 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 20 − 5·7 = −15 kN

Ответ

V_x = −15 kN

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 114,1 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·2 + 6·10·5

R_B = 370/10 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 37 = 58 kN

Где V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (58 − 35)/6 = 3,833 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 2) − w·x₀²/2 = 114,1 kN·m

Ответ

M_max = 114,1 kN·m

Он достигается при x = 3,833 m от A.

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 86,07 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

b = 192 mm, h = 197 mm

A = BH − bh = 220·225 − 192·197 = 11676 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 8,65 × 10⁷ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(8,65 × 10⁷/11676) = 86,07 mm

Ответ

r = 86,07 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 113,3 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (24000·120 − 2400·144)/(24000 − 2400) = 117,3 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·240³/12 + 24000·2,667² = 115,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

60·40³/12 + 2400·26,67² = 2,027 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 113,3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 113,3 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 63,25 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (40 + (−20))/2 = 10 MPa

R = σ₁ − C = 80 − 10 = 70 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 30²) = 63,25 MPa

Ответ

τ_xy = 63,25 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ₁ = 117,6 MPa

Напряжения на поверхности

σ = F/A = 40000/(π·25²/4) = 40000/490,9 = 81,49 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·25³) = 65,19 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = 40,74 MPa

R = √(40,74² + 65,19²) = 76,87 MPa

σ₁ = C + R = 117,6 MPa

σ₂ = C − R = −36,13 MPa

Ответ

σ₁ = 117,6 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 2,551 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 11000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 11000·4000²·1000²/(3·4,6 × 10¹²·5000) = 2,551 mm

Ответ

δ_P = 2,551 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 21,7 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·3000⁴/(384·70000·8,333) = 2,17 × 10⁷ mm⁴

I_req = 21,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 21,7 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 2,481 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2,481 kN

Ответ

P_cr = 2,481 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 95,62 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·105000 = 315000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 95,62 mm

Ответ

d = 95,62 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 125,5, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials