Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 20 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 70 mm и E = 120 GPa. Длина обоих — 400 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 100 kN. Найдите укорочение δ.

P = 100 kNстержень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 40 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa и участок (латунь) диаметром 30 mm, длиной 300 mm и E = 100 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 40 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 30 kW при 750 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 30 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 3 m5 kN/m, 2–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 20 kN в 2,5 mw = 3 kN/m от 0 до 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 195 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 300 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 210 mm и толщиной 14 mm, полную высоту 320 mm и стенку толщиной 14 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 30 kN·m относительно оси x. Найдите величину нормального напряжения при изгибе σ_j в месте сопряжения стенки с верхней полкой.

B = 210 mmH = 320 mmt_f = 14 mmt_w = 14 mmM = 30 kN·m

σ_j = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 20 MPa и σᵧ = 0 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 55 MPa?

σ_x = 20 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 55 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 0 MPa, σᵧ = 110 MPa и τₓᵧ = 20 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 25° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 0 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 8 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 95 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 95 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,04175 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·7461 = 9,582 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 100000·400/9,582 × 10⁸ = 0,04175 mm

Ответ

δ = 0,04175 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 12,42 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 100000·706,9/300 = 235619 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 40000·235619/1,073 × 10⁶ = 8780 N

Напряжение

σ₂ = 8780/706,9 = 12,42 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 12,42 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 2,192 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(26000·251327) = 0,03826 rad

φ = 0,03826·180/π = 2,192°

Ответ

φ = 2,192°

4.Кручение валов

Ответ: d = 29,6 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·75)) = 29,6 mm

Ответ

d = 29,6 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 3 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 36,25 kN, R₂ = 38,75 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 36,25, M_C = 72,5, M_D = 106,3 kN·m, M_E = 75, M_F = 38,75, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 106,3 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 42,29 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·2,5 + 3·6·3

R_B = 104/6 = 17,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 38 − 17,33 = 20,67 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 20,67·2,5 − 3·2,5·1,25 = 42,29 kN·m

Ответ

M_x = 42,29 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 448,5 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (60000·150 − 706,9·195)/(60000 − 706,9) = 149,5 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·300³/12 + 60000·0,5365² = 450 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·45,54² = 1,505 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 448,5 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 448,5 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_j = 26,26 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 320 − 2·14 = 292 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·320³ − 196·292³)/12

I_x = 1,668 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 160 − 14 = 146 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·146/1,668 × 10⁸ = 26,26 MPa

Ответ

σ_j = 26,26 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 43,87 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (20 + 0)/2 = 10 MPa

R = σ₁ − C = 55 − 10 = 45 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 10²) = 43,87 MPa

Ответ

τ_xy = 43,87 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 34,97 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 55 + −55·0,6428 + 20·0,766 = 34,97 MPa

Ответ

σ_θ = 34,97 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 2,46 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 8000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 8000·2000³/(3·1,68 × 10¹³) = 1,27 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 1,19 mm

Сложите

δ = 1,27 + 1,19 = 2,46 mm

Ответ

δ = 2,46 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 1,875 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2000⁴/(384·200000·5,556) = 1,875 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,875 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 1,875 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 23,39 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/6000² = 23395 N = 23,39 kN

Ответ

P_cr = 23,39 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 68,53 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·95000 = 237500 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 68,53 mm

Ответ

d = 68,53 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 175,1, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials