Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (медь) под действием осевой нагрузки.

P = 60 kNd = 30 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 25 mm, длиной 400 mm и E = 200 GPa и участок (алюминий) диаметром 40 mm, длиной 300 mm и E = 70 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 50 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaучасток 2: алюминий, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 200 N·md = 20 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 50 kW при 300 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 60 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A. Найдите изгибающий момент M_A в заделке A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 60 kN в 1 mw = 8 kN/m от 0 до 5 m

M_A = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 40 kN в 1 mw = 3 kN/m от 0 до 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 220 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 90 mm. Толщина основания и полок 12 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b = 220 mmh = 90 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 150 mm × 300 mm имеет прямоугольный вырез шириной 40 mm и высотой 40 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 180 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 300 mmвырез: 40 × 40 mmцентр отверстия: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 150 MPa, σᵧ = −80 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −60 MPa, σᵧ = 70 MPa и τₓᵧ = 50 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 40° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = −60 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена сосредоточенной силой P в середине пролёта. EI постоянна. Найдите величину изгибающего момента M_A в заделке.

L = 6 mP = 20 kN в 3 m

M_A = kN·m

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 35 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 35 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,7255 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/706,9 = 84,88 MPa

Деформация (закон Гука)

E for медь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 84,88/117000 = 0,0007255 = 725,5 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,0007255·1000 mm = 0,7255 mm

Ответ

δ = 0,7255 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 21,66 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 70000·1257/300 = 293215 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 50000·293215/538652 = 27217 N

Напряжение

σ₂ = 27217/1257 = 21,66 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 21,66 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 13,68 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·15708) = 0,2387 rad

φ = 0,2387·180/π = 13,68°

Ответ

φ = 13,68°

4.Кручение валов

Ответ: d = 51,31 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·60)) = 51,31 mm

Ответ

d = 51,31 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_A = −160 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −60·1 = −60 kN·m

w: −8·5²/2 = −100 kN·m

M_A = −60 − 100 = −160 kN·m

Ответ

M_A = −160 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 38 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·1 + 3·5·2,5

R_B = 77,5/5 = 15,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 15,5 = 39,5 kN

Рассеките в x = 1 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 39,5·1 − 3·1·0,5 = 38 kN·m

Ответ

M_x = 38 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 3,199 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 220·12 = 2640 mm², y₁ = 6 mm

две полки: A₂ = 2·12·78 = 1872 mm², y₂ = 12 + 78/2 = 51 mm

Центр тяжести

ȳ = (2640·6 + 1872·51)/4512 = 24,67 mm

Теорема о параллельном переносе осей

основа: 220·12³/12 + 2640·(6 − 24,67)² = 951923 mm⁴

две полки: 2·12·78³/12 + 1872·(51 − 24,67)² = 2,247 × 10⁶ mm⁴

I_x = 951923 + 2,247 × 10⁶

I_x = 3,199 × 10⁶ mm⁴ = 3,199 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 3,199 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 335,8 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (45000·150 − 1600·180)/(45000 − 1600) = 148,9 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·300³/12 + 45000·1,106² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

40·40³/12 + 1600·31,11² = 1,761 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 335,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 335,8 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = −54,59 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = −40/121,8 = −0,3285, sin 2θ_s = −115/121,8 = −0,9445

2θ_s = atan2(−115, −40) = −109,2°

Угол на элементе

θ_s = −54,59°

проверка: θ_s − θ_p = −54,59 − (−9,59) = −45°

Ответ

θ_s = −54,59°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 42,95 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 5 + −65·0,1736 + 50·0,9848 = 42,95 MPa

Ответ

σ_θ = 42,95 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 1,804 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 1,804 mm

Ответ

δ_max = 1,804 mm

12.Прогиб балки

Ответ: M_A = 22,5 kN·m

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Момент в заделке

Моменты нагрузок и реакции опоры относительно A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 60 − 37,5 = 22,5 kN·m

Ответ

M_A = 22,5 kN·m

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 11,7 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/3000² = 11697 N = 11,7 kN

Ответ

P_cr = 11,7 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 50,5 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·35000 = 70000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 50,5 mm

Ответ

d = 50,5 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 237,6, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials