Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (латунь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 75 kNучасток 1: Ø40 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø12 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (сталь; наружный диаметр 50 mm, внутренний диаметр 35 mm, длина 1,5 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 400 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 400 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (латунь) диаметром 25 mm заделан в A. В точке B на расстоянии 0,5 m от A действует крутящий момент 100 N·m, а на свободном конце C, ещё на 1 m дальше, — крутящий момент 200 N·m противоположного направления. Найдите величину угла закручивания φ_C конца C в градусах.

d = 25 mmT_B = 100 N·mT_C = 200 N·mAB = 0,5 mBC = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 3 kN/m от 0 до 10 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

10 kN @ 6 m6 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 160 mm и толщиной 18 mm, полную высоту 320 mm и стенку толщиной 8 mm. Найдите его момент сопротивления S_x при изгибе относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 160 mmH = 320 mmt_f = 18 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 50 MPa при растяжении и 150 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −80 MPa и τₓᵧ = −10 MPa, σ_z = 0. Найдите абсолютное наибольшее касательное напряжение τ_abs в точке (с учётом всех площадок в трёх измерениях).

σ_x = −40 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Тонкостенный цилиндрический резервуар с внутренним диаметром 400 mm и толщиной стенки 6 mm содержит газ под избыточным давлением 1 MPa. Он изготовлен из листа, сваренного по винтовому шву под углом 30° к оси цилиндра. Найдите нормальное напряжение σ_n, действующее поперёк сварного шва.

D = 400 mmt = 6 mmp = 1 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 2 kNa = 1,5 mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 3 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 497,4 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201,1 = 49,74 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 49,74/100000 = 0,0004974 = 497,4 µε

Ответ

ε = 497,4 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 663,1 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 59,68 MPa

σ₂ = 663,1 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 663,1 MPa

Ответ

σ_max = 663,1 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,9216 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Угол закручивания

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1500/(80000·466269) = 0,01609 rad

φ = 0,01609·180/π = 0,9216°

Ответ

φ = 0,9216°

4.Кручение валов

Ответ: φ_C = 9,577 °

Внутренние крутящие моменты

Направление T_C принято положительным.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 100 = 100 N·m

Угол закручивания каждого участка

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 100000·500/(39000·38350) = 0,03343 rad

φ_BC = 200000·1000/(39000·38350) = 0,1337 rad

Угол закручивания конца C

φ_C = 0,03343 + 0,1337 = 0,1672 rad → |φ_C| = 9,577°

Ответ

φ_C = 9,577°

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 7,125 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 15·0,5 − 3·0,5·0,25 = 7,125 kN·m

Ответ

M_x = 7,125 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 7 kN, R₂ = 27 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 4, M_C = 2, M_D = −6, M_E = −20 kN·m, M_F = −10, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −20 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: S_x = 917,3 × 10³ mm³

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 320 − 2·18 = 284 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·320³ − 152·284³)/12

I_x = 1,468 × 10⁸ mm⁴

Момент сопротивления сечения

c = H/2 = 160 mm

S_x = I/c = 1,468 × 10⁸/160

S_x = 917251 mm³ = 917,3 × 10³ mm³

Ответ

S_x = 917,3 × 10³ mm³

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 17,93 kN·m

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Центр тяжести

ȳ = (4400·270 + 4680·130)/9080 = 197,8 mm

верхняя кромка: c = 280 − 197,8 = 82,16 mm

Момент инерции сечения

I = 220·20³/12 + 4400·72,16² + 18·260³/12 + 4680·67,84² = 7,096 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Положительный момент: верх сжат, низ растянут.

верхняя кромка: M = 150·7,096 × 10⁷/82,16 = 129,6 kN·m

нижняя кромка: M = 50·7,096 × 10⁷/197,8 = 17,93 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 17,93 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 17,93 kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_abs = 41,18 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. В трёх измерениях абсолютное наибольшее касательное напряжение равно (σ_max − σ_min)/2 по всем трём главным напряжениям; при плоском напряжённом состоянии третье из них равно нулю.

Главные напряжения в плоскости

C = −60 MPa, R = √(20² + (−10)²) = 22,36 MPa

σ₁ = −37,64 MPa, σ₂ = −82,36 MPa, σ_z = 0

Наибольший из трёх кругов

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(44,72, 37,64, 82,36)/2 = 41,18 MPa

Ответ

τ_abs = 41,18 MPa

Здесь определяющим является круг вне плоскости: абсолютный максимум больше максимума в плоскости R.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_n = 29,17 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Тонкостенный цилиндр: окружное напряжение σ_h = pr/t и осевое напряжение σ_a = pr/(2t); это главные напряжения в стенке.

Напряжения в стенке

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 1·200/6 = 33,33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 16,67 MPa

Преобразование к шву

Направьте x вдоль оси (σ_a), а y по окружности (σ_h). Нормаль к шву составляет с осью угол 90° − α.

σ_n = 16,67·sin²30° + 33,33·cos²30° = 29,17 MPa

Ответ

σ_n = 29,17 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 6,088 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 2000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 2,435 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002435 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 6,088 mm

Ответ

δ_B = 6,088 mm

12.Прогиб балки

Ответ: R_B = 4,5 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·3/8 = 4,5 kN

Ответ

R_B = 4,5 kN

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 28,35 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1750² = 28349 N = 28,35 kN

Ответ

P_cr = 28,35 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 4,819 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/12,5 = 640

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4,819 MPa

Ответ

σ_cr = 4,819 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials