Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (алюминий) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 40 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa и участок (бронза) диаметром 40 mm, длиной 400 mm и E = 110 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 80 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: бронза, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (сталь; наружный диаметр 60 mm, внутренний диаметр 36 mm, длина 1,2 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 400 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 400 N·md_o = 60 mmd_i = 36 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 10 kW при 1800 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 40 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 10 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A. Найдите изгибающий момент M_A в заделке A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 60 kN в 5 mw = 3 kN/m от 0 до 5 m

M_A = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

20 kN @ 12 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 230 mm и толщиной 16 mm, полную высоту 400 mm и стенку толщиной 8 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 230 mmH = 400 mmt_f = 16 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 40 MPa при растяжении и 150 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 10 MPa, σᵧ = 0 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 10 MPa, σᵧ = −60 MPa и τₓᵧ = −10 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 25° против часовой стрелки от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1,5 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 10 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 11368 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 90·1000/113,1 = 795,8 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 795,8/70000 = 0,01137 = 11368 µε

Ответ

ε = 11368 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 18,59 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 80000·345575/1,183 × 10⁶ = 23363 N

Напряжение

σ₂ = 23363/1257 = 18,59 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 18,59 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,3104 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Угол закручивания

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1200/(80000·1,107 × 10⁶) = 0,005418 rad

φ = 0,005418·180/π = 0,3104°

Ответ

φ = 0,3104°

4.Кручение валов

Ответ: d = 18,9 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 10000/188,5 = 53,05 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·53052/(π·40)) = 18,9 mm

Ответ

d = 18,9 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_A = −337,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −60·5 = −300 kN·m

w: −3·5²/2 = −37,5 kN·m

M_A = −300 − 37,5 = −337,5 kN·m

Ответ

M_A = −337,5 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 10 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 2 kN, R₂ = 28 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 4, M_C = 8, M_D = −8, M_E = −24, M_F = −40 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −40 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 304,7 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 400 − 2·16 = 368 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·400³ − 222·368³)/12

I_x = 3,047 × 10⁸ mm⁴ = 304,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 304,7 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 12,67 kN·m

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Центр тяжести

ȳ = (3000·292,5 + 3920·140)/6920 = 206,1 mm

верхняя кромка: c = 305 − 206,1 = 98,89 mm

Момент инерции сечения

I = 120·25³/12 + 3000·86,39² + 14·280³/12 + 3920·66,11² = 6,529 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Положительный момент: верх сжат, низ растянут.

верхняя кромка: M = 150·6,529 × 10⁷/98,89 = 99,04 kN·m

нижняя кромка: M = 40·6,529 × 10⁷/206,1 = 12,67 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 12,67 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 12,67 kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = −4,731 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = 30/30,41 = 0,9864, sin 2θ_s = −5/30,41 = −0,1644

2θ_s = atan2(−5, 30) = −9,462°

Угол на элементе

θ_s = −4,731°

проверка: θ_s − θ_p = −4,731 − 40,27 = −45°

Ответ

θ_s = −4,731°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = −33,24 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −35·0,766 + −10·0,6428 = −33,24 MPa

Ответ

τ_θ = −33,24 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 46,5 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 5·5000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 46,5 mm

Ответ

δ = 46,5 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 13,27 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 10000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 13,27 mm

Ответ

δ_max = 13,27 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 110,2 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110,2 kN

Ответ

P_cr = 110,2 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 69,09 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Ответ

σ_cr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials