Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 40 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (медь) диаметром 60 mm, длиной 300 mm и E = 120 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,4 mm.

участок 1: сталь, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 20 mm, длиной 500 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 50 mm, длиной 400 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 100 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Ступенчатый сплошной вал (сталь) заделан в A. Участок AB имеет диаметр 40 mm и длину 1,2 m; участок BC — диаметр 30 mm и длину 2 m. На свободном конце C действует крутящий момент 400 N·m. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

T = 400 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 30 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (латунь) передаёт 15 kW при 1500 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 60 MPa, а угол закручивания — 0,75° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 15 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

55 kN @ 2 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

50 kN @ 12 m5 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Полое прямоугольное (коробчатое) сечение имеет наружную ширину B = 160 mm, наружную высоту H = 175 mm и одинаковую толщину стенок t = 8 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

B = 160 mmH = 175 mmt = 8 mm

r = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 120 mm × 300 mm имеет прямоугольный вырез шириной 50 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 105 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 300 mmвырез: 50 × 20 mmцентр отверстия: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 110 MPa, σᵧ = 40 MPa и τₓᵧ = −60 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 20 MPa, σᵧ = 0 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 20° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 14 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 45 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 45 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 122,3 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·2827) = 8,842 × 10⁻⁷ mm/N

Нагрузка

P = 0,4/3,272 × 10⁻⁶ = 122267 N = 122,3 kN

Ответ

P = 122,3 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 41,97 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 120000·1963/400 = 589049 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 100000·589049/714712 = 82418 N

Напряжение

σ₂ = 82418/1963 = 41,97 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 41,97 MPa

3.Кручение валов

Ответ: τ_max = 75,45 MPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Напряжение на каждом участке

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·40³) = 31,83 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

Ответ

τ_max = 75,45 MPa

4.Кручение валов

Ответ: d = 37,15 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

d_τ = ∛(16·95493/(π·60)) = 20,09 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·95493/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 37,15 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(20,09, 37,15) = 37,15 mm

Ответ

d = 37,15 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 48,67 kN, R₂ = 30,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 46,67, M_C = 89,33 kN·m, M_D = 73, M_E = 52,67, M_F = 28,33, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 89,33 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 10 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 15 kN, R₂ = 85 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = 20, M_C = 20, M_D = 0, M_E = −40, M_F = −100 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −100 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 67,45 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

b = 144 mm, h = 159 mm

A = BH − bh = 160·175 − 144·159 = 5104 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,322 × 10⁷ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(2,322 × 10⁷/5104) = 67,45 mm

Ответ

r = 67,45 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 267,9 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (36000·150 − 1000·105)/(36000 − 1000) = 151,3 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·300³/12 + 36000·−1,286² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

50·20³/12 + 1000·−46,29² = 2,176 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 267,9 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 267,9 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = −74,87 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = −60/69,46 = −0,8638, sin 2θ_s = −35/69,46 = −0,5039

2θ_s = atan2(−35, −60) = −149,7°

Угол на элементе

θ_s = −74,87°

проверка: θ_s − θ_p = −74,87 − (−29,87) = −45°

Ответ

θ_s = −74,87°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = −8,051 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 10 + 10·0,766 + −40·0,6428 = −8,051 MPa

Ответ

σ_θ = −8,051 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 1,004 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 1,004 mm

Ответ

δ = 1,004 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 3,662 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 14000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 14000·2000³/(48·1,32 × 10¹²) = 1,768 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 1,894 mm

Сложите

δ_max = 1,768 + 1,894 = 3,662 mm

Ответ

δ_max = 3,662 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 77,24 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2800² = 77244 N = 77,24 kN

Ответ

P_cr = 77,24 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 119 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 119 mm

Ответ

d = 119 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 403,3, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials