Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 40 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (алюминий) с наружным диаметром 80 mm, внутренним диаметром 60 mm и E = 70 GPa. Длина обоих — 300 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 100 kN. Найдите укорочение δ.

P = 100 kNстержень: Ø40 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 120 kNучасток 1: Ø40 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø16 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал должен передавать крутящий момент 1000 N·m. Его внутренний диаметр должен составлять 0,75 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 60 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 30 kW при 1500 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 30 kWN = 1500 rpmd_o = 40 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP₁ = 15 kN в 2,5 mP₂ = 25 kN в 4 m

M_max = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 60 kN в 3 mw = 4 kN/m от 0 до 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 230 mm и толщиной 12 mm, полную высоту 500 mm и стенку толщиной 12 mm. Найдите его момент сопротивления S_x при изгибе относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 230 mmH = 500 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmM = 40 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = −10 MPa и σᵧ = −20 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 20 MPa?

σ_x = −10 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = 20 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −30 MPa, σᵧ = 60 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 40° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = −30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 5 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 17 kNa = 5 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 3 mw = 12 kN/m

R_B = kN

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,07403 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 100000·300/4,053 × 10⁸ = 0,07403 mm

Ответ

δ = 0,07403 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 596,8 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 95,49 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 596,8 MPa

Ответ

σ_max = 596,8 MPa

3.Кручение валов

Ответ: d_o = 49,89 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·60·0,6836)) = 49,89 mm

d_i = 0,75·49,89 = 37,42 mm

Ответ

d_o = 49,89 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 43,95 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 22,23 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Полярный момент инерции

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·20/171806 = 22,23 MPa

Ответ

τ_max = 22,23 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 45,83 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·2,5 + 25·4

R_B = 137,5/6 = 22,92 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 22,92 = 17,08 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·2,5 = 17,08·2,5 = 42,71 kN·m

под P₂: M = R_B·2 = 22,92·2 = 45,83 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 45,83 kN·m (под P₂)

Ответ

M_max = 45,83 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 84 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·3 + 4·5·2,5

R_B = 230/5 = 46 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 46 = 34 kN

Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 34·3 − 4·3·1,5 = 84 kN·m

Ответ

M_x = 84 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: S_x = 1746 × 10³ mm³

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 500 − 2·12 = 476 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·500³ − 218·476³)/12

I_x = 4,366 × 10⁸ mm⁴

Момент сопротивления сечения

c = H/2 = 250 mm

S_x = I/c = 4,366 × 10⁸/250

S_x = 1,746 × 10⁶ mm³ = 1746 × 10³ mm³

Ответ

S_x = 1746 × 10³ mm³

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 130 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

стенка: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·285 + 5040·140)/6040 = 164 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·10³/12 + 1000·(285 − 164)² = 1,465 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·280³/12 + 5040·(140 − 164)² = 3,583 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,465 × 10⁷ + 3,583 × 10⁷ = 5,048 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 164 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·164/5,048 × 10⁷ = 130 MPa

Ответ

σ_низ = 130 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 34,64 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (−10 + (−20))/2 = −15 MPa

R = σ₁ − C = 20 − (−15) = 35 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 5²) = 34,64 MPa

Ответ

τ_xy = 34,64 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = −32,21 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 15 + −45·0,1736 + −40·0,9848 = −32,21 MPa

Ответ

σ_θ = −32,21 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 13,89 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 17000 N, a = 5000 mm, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 17000·5000²·1000²/(3·1,7 × 10¹²·6000) = 13,89 mm

Ответ

δ_P = 13,89 mm

12.Прогиб балки

Ответ: R_B = 13,5 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·3/8 = 13,5 kN

Ответ

R_B = 13,5 kN

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 6,867 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Ответ

P_cr = 6,867 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 21,93 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Ответ

σ_cr = 21,93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials