Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (сталь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 20 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 60 mm, длиной 300 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 60 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

При испытании на кручение сплошной образец диаметром 20 mm закручивается моментом 100 N·m. Концы расчётной длины 400 mm поворачиваются друг относительно друга на 5,61° (материал ещё работает упруго). Найдите модуль сдвига G материала.

T = 100 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 5,61°

G = GPa

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (латунь) диаметром 50 mm заделан в A. В точке B на расстоянии 0,5 m от A действует крутящий момент 1000 N·m, а на свободном конце C, ещё на 1,5 m дальше, — крутящий момент 750 N·m противоположного направления. Найдите величину угла закручивания φ_C конца C в градусах.

d = 50 mmT_B = 1000 N·mT_C = 750 N·mAB = 0,5 mBC = 1,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

20 kN @ 2 m50 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

50 kN @ 12 m10 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 200 mm имеет круглое отверстие диаметром 40 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 120 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mmцентр отверстия: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 40 MPa при растяжении и 120 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 10 MPa, σᵧ = −70 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −20 MPa, σᵧ = −30 MPa и τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 355 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Мизеса (энергии формоизменения).

σ_x = −20 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 4 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 24 kNa = 4 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 305,6 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/490,9 = 61,12 MPa

Деформация (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 61,12/200000 = 0,0003056 = 305,6 µε

Ответ

ε = 305,6 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 19,42 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 120000·2827/300 = 1,131 × 10⁶ N/mm

Доля участка 2

F₂ = 60000·1,131 × 10⁶/1,236 × 10⁶ = 54915 N

Напряжение

σ₂ = 54915/2827 = 19,42 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 19,42 MPa

3.Кручение валов

Ответ: G = 26,01 GPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции и угол

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 5,61·π/180 = 0,09791 rad

Модуль сдвига

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·400/(15708·0,09791) = 26008 MPa

G = 26,01 GPa

Ответ

G = 26,01 GPa

Для сравнения: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюминий ≈ 26 GPa.

4.Кручение валов

Ответ: φ_C = 2,394 °

Внутренние крутящие моменты

Направление T_C принято положительным.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 1000 = −250 N·m

Угол закручивания каждого участка

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −250000·500/(39000·613592) = −0,005224 rad

φ_BC = 750000·1500/(39000·613592) = 0,04701 rad

Угол закручивания конца C

φ_C = −0,005224 + 0,04701 = 0,04179 rad → |φ_C| = 2,394°

Ответ

φ_C = 2,394°

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 41,67 kN, R₂ = 28,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 83,33, M_C = 126,7, M_D = 170 kN·m, M_E = 113,3, M_F = 56,67, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 170 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 15 kN, R₂ = 115 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = 10, M_C = −20, M_D = −90, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −200 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 132,7 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (40000·100 − 1257·120)/(40000 − 1257) = 99,35 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·200³/12 + 40000·0,6487² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·20,65² = 0,6615 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 132,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 132,7 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 3,224 kN·m

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Центр тяжести

ȳ = (2500·132,5 + 1920·60)/4420 = 101 mm

верхняя кромка: c = 145 − 101 = 43,99 mm

Момент инерции сечения

I = 100·25³/12 + 2500·31,49² + 16·120³/12 + 1920·41,01² = 8,142 × 10⁶ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Положительный момент: верх сжат, низ растянут.

верхняя кромка: M = 120·8,142 × 10⁶/43,99 = 22,21 kN·m

нижняя кромка: M = 40·8,142 × 10⁶/101 = 3,224 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 3,224 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 3,224 kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = −37,98 °

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = 10/41,23 = 0,2425, sin 2θ_s = −40/41,23 = −0,9701

2θ_s = atan2(−40, 10) = −75,96°

Угол на элементе

θ_s = −37,98°

проверка: θ_s − θ_p = −37,98 − 7,018 = −45°

Ответ

θ_s = −37,98°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 8,144

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = −25 MPa, R = 20,62 MPa

σ₁ = −4,384 MPa, σ₂ = −45,62 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √((−4,384)² − (−4,384)·(−45,62) + (−45,62)²) = 43,59 MPa

n = 355/43,59 = 8,144

Ответ

n = 8,144

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 10,67 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 24000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 24000·4000²·1000²/(3·2,4 × 10¹²·5000) = 10,67 mm

Ответ

δ_P = 10,67 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 6,328 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·3000⁴/(384·200000·8,333) = 6,328 × 10⁶ mm⁴

I_req = 6,328 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 6,328 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 5,997 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/3000² = 5997 N = 5,997 kN

Ответ

P_cr = 5,997 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 26,99 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Ответ

σ_cr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials