Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 30 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (бронза) с наружным диаметром 100 mm, внутренним диаметром 50 mm и E = 110 GPa. Длина обоих — 300 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 100 kN. Найдите укорочение δ.

P = 100 kNстержень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 40 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 160 MPa находится внутри трубы (алюминий) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 70 mm, E = 70 GPa и допускаемым напряжением 50 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (латунь) передаёт 15 kW при 500 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 40 MPa, а угол закручивания — 1° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

15 kN @ 10 m45 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

20 kN @ 6 m8 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Полое прямоугольное (коробчатое) сечение имеет наружную ширину B = 100 mm, наружную высоту H = 300 mm и одинаковую толщину стенок t = 8 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

B = 100 mmH = 300 mmt = 8 mm

r = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mmM = 40 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = −40 MPa и σᵧ = 70 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 80 MPa?

σ_x = −40 MPaσ_y = 70 MPaσ₁ = 80 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 40 mm нагружен изгибающим моментом 750 N·m вместе с крутящим моментом 2000 N·m. На верхней поверхности, где нормальное напряжение от изгиба растягивающее и наибольшее, найдите наибольшее главное напряжение σ₁.

d = 40 mmM = 750 N·mT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 90 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 90 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,03801 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·5890 = 7,893 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 100000·300/7,893 × 10⁸ = 0,03801 mm

Ответ

δ = 0,03801 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 552,6 kN

Площади

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·7461 = 7,736 × 10⁸ N

Определяющая деформация

ε = min(0,0008, 0,0007143) = 0,0007143 (алюминий)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,0007143·7,736 × 10⁸ = 552584 N = 552,6 kN

Ответ

P_max = 552,6 kN

3.Кручение валов

Ответ: φ = 1,169 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(39000·251327) = 0,0204 rad

φ = 0,0204·180/π = 1,169°

Ответ

φ = 1,169°

4.Кручение валов

Ответ: d = 45,5 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·40)) = 33,16 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 45,5 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(33,16, 45,5) = 45,5 mm

Ответ

d = 45,5 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 25 kN, R₂ = 35 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 100, M_D = 150 kN·m, M_E = 110, M_F = 70, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 150 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 6 kN, R₂ = 46 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = 2, M_C = −4, M_D = −18, M_E = −40 kN·m, M_F = −20, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −40 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 102,6 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

b = 84 mm, h = 284 mm

A = BH − bh = 100·300 − 84·284 = 6144 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 6,466 × 10⁷ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(6,466 × 10⁷/6144) = 102,6 mm

Ответ

r = 102,6 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 178,8 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

стенка: A_w = 10·140 = 1400 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·155 + 1400·70)/4400 = 128 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·30³/12 + 3000·(155 − 128)² = 2,419 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·140³/12 + 1400·(70 − 128)² = 6,989 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,419 × 10⁶ + 6,989 × 10⁶ = 9,408 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 170 − 128 = 42,05 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·42,05/9,408 × 10⁶ = 178,8 MPa

Ответ

σ_верх = 178,8 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 34,64 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (−40 + 70)/2 = 15 MPa

R = σ₁ − C = 80 − 15 = 65 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 55²) = 34,64 MPa

Ответ

τ_xy = 34,64 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ₁ = 229,7 MPa

Напряжения на поверхности

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119,4 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·40³) = 159,2 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = 59,68 MPa

R = √(59,68² + 159,2²) = 170 MPa

σ₁ = C + R = 229,7 MPa

σ₂ = C − R = −110,3 MPa

Ответ

σ₁ = 229,7 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 1,004 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 1,004 mm

Ответ

δ_max = 1,004 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 163,6 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·4000⁴/(384·11000·11,11) = 1,636 × 10⁸ mm⁴

I_req = 163,6 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 163,6 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 195,3 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1500² = 195340 N = 195,3 kN

Ответ

P_cr = 195,3 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 123,4 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·90000 = 225000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 123,4 mm

Ответ

d = 123,4 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 324, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials