Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 30 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (алюминий) диаметром 60 mm, длиной 200 mm и E = 70 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,5 mm.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: алюминий, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 40 mm, длиной 500 mm и E = 200 GPa и участок (алюминий) диаметром 50 mm, длиной 200 mm и E = 70 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 60 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaучасток 2: алюминий, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 250 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (латунь) диаметром 30 mm заделан в A. В точке B на расстоянии 1,5 m от A действует крутящий момент 1500 N·m, а на свободном конце C, ещё на 2 m дальше, — крутящий момент 100 N·m противоположного направления. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

d = 30 mmT_B = 1500 N·mT_C = 100 N·mAB = 1,5 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 5 kN/m от 0 до 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

20 kN @ 0 m10 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 5 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mmM = 5 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa и τₓᵧ = 50 MPa, σ_z = 0. Найдите абсолютное наибольшее касательное напряжение τ_abs в точке (с учётом всех площадок в трёх измерениях).

σ_x = 60 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 30 MPa, σᵧ = 0 MPa и τₓᵧ = −60 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 45° против часовой стрелки от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 12 kNw = 8 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 159,6 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·2827) = 1,011 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,5/3,133 × 10⁻⁶ = 159613 N = 159,6 kN

Ответ

P = 159,6 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 17,65 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·1963/200 = 687223 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 60000·687223/1,19 × 10⁶ = 34653 N

Напряжение

σ₂ = 34653/1963 = 17,65 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 17,65 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 5,542 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(26000·79522) = 0,09673 rad

φ = 0,09673·180/π = 5,542°

Ответ

φ = 5,542°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 264,1 MPa

Внутренние крутящие моменты

Направление T_C принято положительным.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 1500 = −1400 N·m

Наибольшее касательное напряжение

Участок с наибольшим внутренним моментом имеет наибольшее напряжение (диаметр одинаков).

|T|_max = 1400 N·m

τ_max = 16·1,4 × 10⁶/(π·30³) = 264,1 MPa

Ответ

τ_max = 264,1 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 4,375 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·4·2

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 10·3,5 − 5·3,5·1,75 = 4,375 kN·m

Ответ

M_x = 4,375 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 22,5 kN, R₂ = 7,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −40 kN·m, M_C = −35, M_D = −30, M_E = −25, M_F = −20, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = −40 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 13,63 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

стенка: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·150 + 2800·70)/5600 = 110 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·20³/12 + 2800·(150 − 110)² = 4,573 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·140³/12 + 2800·(70 − 110)² = 9,053 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,573 × 10⁶ + 9,053 × 10⁶ = 1,363 × 10⁷ mm⁴ = 13,63 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 13,63 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 18,04 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

стенка: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·252,5 + 3840·120)/7340 = 183,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·25³/12 + 3500·(252,5 − 183,2)² = 1,7 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·240³/12 + 3840·(120 − 183,2)² = 3,376 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,7 × 10⁷ + 3,376 × 10⁷ = 5,076 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 183,2 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·183,2/5,076 × 10⁷ = 18,04 MPa

Ответ

σ_низ = 18,04 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_abs = 66,93 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. В трёх измерениях абсолютное наибольшее касательное напряжение равно (σ_max − σ_min)/2 по всем трём главным напряжениям; при плоском напряжённом состоянии третье из них равно нулю.

Главные напряжения в плоскости

C = 80 MPa, R = √((−20)² + 50²) = 53,85 MPa

σ₁ = 133,9 MPa, σ₂ = 26,15 MPa, σ_z = 0

Наибольший из трёх кругов

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(107,7, 133,9, 26,15)/2 = 66,93 MPa

Ответ

τ_abs = 66,93 MPa

Здесь определяющим является круг вне плоскости: абсолютный максимум больше максимума в плоскости R.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = −15 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −15·1 + −60·0 = −15 MPa

Ответ

τ_θ = −15 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 6,328 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·6000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 6,328 mm

Ответ

δ_max = 6,328 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 2,304 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 12000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm, EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·1500³/(48·5,95 × 10¹¹) = 1,418 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·1500⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 0,8863 mm

Сложите

δ_max = 1,418 + 0,8863 = 2,304 mm

Ответ

δ_max = 2,304 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 21,7 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·1000 = 500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/500² = 21704 N = 21,7 kN

Ответ

P_cr = 21,7 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 26,99 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Ответ

σ_cr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials