Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (латунь) под действием осевой нагрузки.

P = 15 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 25 mm, длиной 500 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 60 mm, длиной 200 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 100 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 100 N·md = 30 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (алюминий) диаметром 50 mm обоими концами A и B заделан в жёсткие стены. В точке C, на расстоянии 1,2 m от A и 2,5 m от B, приложен крутящий момент 200 N·m. Найдите реактивный момент T_A в стене A.

d = 50 mmT₀ = 200 N·ma = 1,2 mb = 2,5 m

T_A = N·m

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 2 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1,5 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 3 mP = 60 kN в 2 mw = 5 kN/m от 0 до 3 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 10 mP = 65 kN в 2 mw = 5 kN/m от 0 до 10 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 100 mm × 240 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 156 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 60 MPa и σᵧ = 30 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 85 MPa?

σ_x = 60 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 85 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −80 MPa, σᵧ = −10 MPa и τₓᵧ = −10 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 35° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = −80 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 50 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 50 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,1528 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/490,9 = 30,56 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 30,56/100000 = 0,0003056 = 305,6 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,0003056·500 mm = 0,1528 mm

Ответ

δ = 0,1528 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 31,7 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 120000·2827/200 = 1,696 × 10⁶ N/mm

Доля участка 2

F₂ = 100000·1,696 × 10⁶/1,893 × 10⁶ = 89627 N

Напряжение

σ₂ = 89627/2827 = 31,7 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 31,7 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 8,314 °

Полярный момент инерции

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(26000·79522) = 0,1451 rad

φ = 0,1451·180/π = 8,314°

Ответ

φ = 8,314°

4.Кручение валов

Ответ: T_A = 135,1 N·m

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω. Когда оба конца заделаны, статика даёт только T_A + T_B = T₀; второе уравнение — условие совместности (равные углы закручивания обеих частей в нагруженном сечении).

Равновесие и совместность

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·2,5/3,7 = 135,1 N·m

T_B = 200·1,2/3,7 = 64,86 N·m

Ответ

T_A = 135,1 N·m

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −35,63 kN·m

Оставляем часть со свободным концом

P: −60·0,5 = −30 kN·m

w: −5·1,5²/2 = −5,625 kN·m

M_x = −30 − 5,625 = −35,63 kN·m

Ответ

M_x = −35,63 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 144,4 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 65·2 + 5·10·5

R_B = 380/10 = 38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 38 = 77 kN

Где V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (77 − 65)/5 = 2,4 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 2) − w·x₀²/2 = 144,4 kN·m

Ответ

M_max = 144,4 kN·m

Он достигается при x = 2,4 m от A.

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 112,1 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (24000·120 − 1963·156)/(24000 − 1963) = 116,8 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·240³/12 + 24000·3,208² = 115,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·39,21² = 3,325 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 112,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 112,1 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 23,31 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

стенка: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·315 + 4200·150)/10800 = 250,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 220·30³/12 + 6600·(315 − 250,8)² = 2,767 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·300³/12 + 4200·(150 − 250,8)² = 7,42 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,767 × 10⁷ + 7,42 × 10⁷ = 1,019 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 330 − 250,8 = 79,17 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·79,17/1,019 × 10⁸ = 23,31 MPa

Ответ

σ_верх = 23,31 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 37,08 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (60 + 30)/2 = 45 MPa

R = σ₁ − C = 85 − 45 = 40 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 15²) = 37,08 MPa

Ответ

τ_xy = 37,08 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = −66,37 MPa

Формула преобразования

σ_θ = −45 + −35·0,342 + −10·0,9397 = −66,37 MPa

Ответ

σ_θ = −66,37 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 40,18 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 40,18 mm

Ответ

δ = 40,18 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 172,6 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·3000⁴/(384·11000·8,333) = 1,726 × 10⁸ mm⁴

I_req = 172,6 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 172,6 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 14,1 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1400² = 14099 N = 14,1 kN

Ответ

P_cr = 14,1 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 85,8 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 85,8 mm

Ответ

d = 85,8 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 163,2, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials