Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 25 mm, длиной 400 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (бронза) диаметром 40 mm, длиной 200 mm и E = 110 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,5 mm.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaучасток 2: бронза, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 20 mm, длиной 500 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 50 mm, длиной 200 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 60 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 750 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 5 kW при 1450 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 1 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 2 kN/m от 0 до 4 mx = 1 m

V_x = kN

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 15 kN в 2 mw = 5 kN/m от 0 до 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 140 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 60 mm. Толщина основания и полок 8 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 140 mmh = 60 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 100 MPa, σᵧ = 30 MPa и τₓᵧ = −50 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 40 MPa, σᵧ = 60 MPa и τₓᵧ = −50 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 50° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 3 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 6 mE = 70 GPa (алюминий)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 90,56 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1257) = 1,447 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,5/5,521 × 10⁻⁶ = 90560 N = 90,56 kN

Ответ

P = 90,56 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 27,61 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 120000·1963/200 = 1,178 × 10⁶ N/mm

Доля участка 2

F₂ = 60000·1,178 × 10⁶/1,304 × 10⁶ = 54217 N

Напряжение

σ₂ = 54217/1963 = 27,61 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 27,61 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 16,81 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(80000·38350) = 0,2934 rad

φ = 0,2934·180/π = 16,81°

Ответ

φ = 16,81°

4.Кручение валов

Ответ: d = 13,08 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·32929/(π·75)) = 13,08 mm

Ответ

d = 13,08 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = 2 kN

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Рассеките в x = 1 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 4 − 2·1 = 2 kN

Ответ

V_x = 2 kN

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 39,38 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·2 + 5·6·3

R_B = 120/6 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 20 = 25 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 25·2,5 − 15·(2,5 − 2) − 5·2,5·1,25 = 39,38 kN·m

Ответ

M_x = 39,38 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 16,79 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 140·8 = 1120 mm², y₁ = 4 mm

две полки: A₂ = 2·8·52 = 832 mm², y₂ = 8 + 52/2 = 34 mm

Центр тяжести

ȳ = (1120·4 + 832·34)/1952 = 16,79 mm

Ответ

ȳ = 16,79 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 32,02 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312,5 mm

стенка: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·312,5 + 2400·150)/7400 = 259,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 200·25³/12 + 5000·(312,5 − 259,8)² = 1,415 × 10⁷ mm⁴

стенка: 8·300³/12 + 2400·(150 − 259,8)² = 4,693 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,415 × 10⁷ + 4,693 × 10⁷ = 6,108 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 325 − 259,8 = 65,2 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·65,2/6,108 × 10⁷ = 32,02 MPa

Ответ

σ_верх = 32,02 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 61,03 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((100 − 30)/2)² + −50²) = 61,03 MPa

Ответ

τ_max = 61,03 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 2,496 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 50 + −10·−0,1736 + −50·0,9848 = 2,496 MPa

Ответ

σ_θ = 2,496 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 16,07 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 16,07 mm

Ответ

δ = 16,07 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 267,7 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·5000⁴/(384·11000·13,89) = 1,598 × 10⁸ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,598 × 10⁸/100)^1/3 = 267,7 mm

Ответ

h_req = 267,7 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 3,29 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·2000 = 4000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/4000² = 3290 N = 3,29 kN

Ответ

P_cr = 3,29 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 1,919 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1,919 MPa

Ответ

σ_cr = 1,919 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials