Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 20 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (латунь) диаметром 50 mm, длиной 400 mm и E = 100 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,3 mm.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 40 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 30 mm, длиной 500 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 50 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) длиной 3 m передаёт крутящий момент 200 N·m. Угол закручивания между его концами не должен превышать 2°. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий этому условию.

T = 200 N·mL = 3 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Кручение валовСложная

Полый вал должен передавать 50 kW при 500 rpm. Его внутренний диаметр должен составлять 0,6 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

P = 50 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 5 kN/m от 0 до 4 mx = 1,5 m

V_x = kN

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 25 kN в 3 mw = 8 kN/m от 0 до 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 110 mm и толщиной 10 mm, полную высоту 460 mm и стенку толщиной 8 mm. Найдите его момент сопротивления S_x при изгибе относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 110 mmH = 460 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 200 mm × 240 mm имеет прямоугольный вырез шириной 60 mm и высотой 30 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 144 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 240 mmвырез: 60 × 30 mmцентр отверстия: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 30 MPa, σᵧ = 10 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −20 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 420 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Мизеса (энергии формоизменения).

σ_x = −10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/300. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 130 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 130 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 44,04 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1963) = 2,037 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,3/6,812 × 10⁻⁶ = 44041 N = 44,04 kN

Ответ

P = 44,04 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 11,91 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 120000·706,9/500 = 169646 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 50000·169646/1,007 × 10⁶ = 8420 N

Напряжение

σ₂ = 8420/706,9 = 11,91 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 11,91 MPa

3.Кручение валов

Ответ: d = 50,94 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Требуемый полярный момент инерции

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·3000/(26000·0,03491) = 661105 mm⁴

Диаметр

d = (32J/π)^1/4 = 50,94 mm

Ответ

d = 50,94 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

4.Кручение валов

Ответ: d_o = 42,08 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·75·0,8704)) = 42,08 mm

d_i = 0,6·42,08 = 25,25 mm

Ответ

d_o = 42,08 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 40,18 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = 2,5 kN

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·4·2

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 10 − 5·1,5 = 2,5 kN

Ответ

V_x = 2,5 kN

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 18,25 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·3 + 8·4·2

R_B = 139/4 = 34,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 34,75 = 22,25 kN

Рассеките в x = 1 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 22,25·1 − 8·1·0,5 = 18,25 kN·m

Ответ

M_x = 18,25 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: S_x = 731,2 × 10³ mm³

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 460 − 2·10 = 440 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·460³ − 102·440³)/12

I_x = 1,682 × 10⁸ mm⁴

Момент сопротивления сечения

c = H/2 = 230 mm

S_x = I/c = 1,682 × 10⁸/230

S_x = 731229 mm³ = 731,2 × 10³ mm³

Ответ

S_x = 731,2 × 10³ mm³

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 229,2 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (48000·120 − 1800·144)/(48000 − 1800) = 119,1 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·240³/12 + 48000·0,9351² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

60·30³/12 + 1800·24,94² = 1,254 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 229,2 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 229,2 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 31,62 MPa

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((30 − 10)/2)² + 30²) = 31,62 MPa

Ответ

τ_max = 31,62 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 7,668

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = −15 MPa, R = 30,41 MPa

σ₁ = 15,41 MPa, σ₂ = −45,41 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(15,41² − 15,41·(−45,41) + (−45,41)²) = 54,77 MPa

n = 420/54,77 = 7,668

Ответ

n = 7,668

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,03 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 8·6000³/(24·2,4 × 10¹²) = 0,03 rad

Ответ

θ_A = 0,03 rad

Это 1,719°.

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 284,4 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·20) = 1,918 × 10⁸ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,918 × 10⁸/100)^1/3 = 284,4 mm

Ответ

h_req = 284,4 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 226,6 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1400² = 226598 N = 226,6 kN

Ответ

P_cr = 226,6 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 60,52 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·130000 = 325000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 60,52 mm

Ответ

d = 60,52 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 132,2, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials