Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (сталь) под действием осевой нагрузки.

P = 35 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 20 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 150 MPa находится внутри трубы (бронза) с наружным диаметром 100 mm, внутренним диаметром 60 mm, E = 110 GPa и допускаемым напряжением 60 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 400 N·md = 30 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (латунь) передаёт 20 kW при 750 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 60 MPa, а угол закручивания — 0,5° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 20 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

10 kN @ 3 m15 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

30 kN @ 0 m50 kN @ 6 m30 kN @ 2 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 120 mm и внутренний диаметр d = 92 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 120 mmd = 92 mm

r = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 140 MPa и σᵧ = 10 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 200 MPa?

σ_x = 140 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 200 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −70 MPa, σᵧ = 30 MPa и τₓᵧ = 20 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 60° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = −70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 12 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена сосредоточенной силой P в середине пролёта. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 3 mP = 60 kN в 1,5 m

R_B = kN

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,7737 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 35·1000/113,1 = 309,5 MPa

Деформация (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 309,5/200000 = 0,001547 = 1547 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,001547·500 mm = 0,7737 mm

Ответ

δ = 0,7737 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 335,9 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5027 = 6,158 × 10⁸ N

Определяющая деформация

ε = min(0,00075, 0,0005455) = 0,0005455 (бронза)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,0005455·6,158 × 10⁸ = 335865 N = 335,9 kN

Ответ

P_max = 335,9 kN

3.Кручение валов

Ответ: φ = 22,17 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(39000·79522) = 0,3869 rad

φ = 0,3869·180/π = 22,17°

Ответ

φ = 22,17°

4.Кручение валов

Ответ: d = 52,54 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 254,6 N·m = 254648 N·mm

d_τ = ∛(16·254648/(π·60)) = 27,86 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·254648/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 52,54 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(27,86, 52,54) = 52,54 mm

Ответ

d = 52,54 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 3 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 7,5 kN, R₂ = 17,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 7,5, M_C = 15, M_D = 22,5 kN·m, M_E = 20, M_F = 17,5, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 22,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 5 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 59,5 kN, R₂ = 74,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −3,5, M_D = −13, M_E = −28,5, M_F = −50 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −50 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 37,8 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 4662 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 6,662 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(6,662 × 10⁶/4662) = 37,8 mm

Ответ

r = 37,8 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 79,8 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

стенка: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·185 + 2520·90)/5320 = 140 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·10³/12 + 2800·(185 − 140)² = 5,693 × 10⁶ mm⁴

стенка: 14·180³/12 + 2520·(90 − 140)² = 1,31 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,693 × 10⁶ + 1,31 × 10⁷ = 1,88 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 190 − 140 = 50 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·50/1,88 × 10⁷ = 79,8 MPa

Ответ

σ_верх = 79,8 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 106,8 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (140 + 10)/2 = 75 MPa

R = σ₁ − C = 200 − 75 = 125 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(125² − 65²) = 106,8 MPa

Ответ

τ_xy = 106,8 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 22,32 MPa

Формула преобразования

σ_θ = −20 + −50·−0,5 + 20·0,866 = 22,32 MPa

Ответ

σ_θ = 22,32 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 65,31 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 12000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 12000·4000³/(3·5,88 × 10¹²) = 43,54 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·4000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 21,77 mm

Сложите

δ = 43,54 + 21,77 = 65,31 mm

Ответ

δ = 65,31 mm

12.Прогиб балки

Ответ: R_B = 18,75 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·60/16 = 18,75 kN

Ответ

R_B = 18,75 kN

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 31,64 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2800² = 31639 N = 31,64 kN

Ответ

P_cr = 31,64 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 4,441 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/7,5 = 666,7

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666,7² = 4,441 MPa

Ответ

σ_cr = 4,441 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials