Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 25 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (алюминий) с наружным диаметром 80 mm, внутренним диаметром 50 mm и E = 70 GPa. Длина обоих — 300 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 80 kN. Найдите укорочение δ.

P = 80 kNстержень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 30 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa и участок (бронза) диаметром 50 mm, длиной 400 mm и E = 110 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 40 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: бронза, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Ступенчатый сплошной вал (сталь) заделан в A. Участок AB имеет диаметр 40 mm и длину 3 m; участок BC — диаметр 30 mm и длину 1 m. На свободном конце C действует крутящий момент 100 N·m. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

T = 100 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 3 md₂ = 30 mm, L₂ = 1 m

τ_max = MPa

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 50 kW при 750 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

50 kN @ 4 m4 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_max между опорами.

L = 7 mw = 6 kN/m от 0 до 7 mопоры при x = 0 и x = 5 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 150 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 105 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mmM = 15 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = −50 MPa, σᵧ = −30 MPa и τₓᵧ = 20 MPa (растяжение положительно). Элемент повёрнут на 25° против часовой стрелки. Найдите нормальное напряжение σ_y′ на гранях повёрнутого элемента, перпендикулярных повёрнутой оси y′.

σ_x = −50 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 25 mm нагружен осевой сжимающей силой 40 kN вместе с крутящим моментом 400 N·m. На поверхности вала найдите наибольшее главное напряжение σ₁.

d = 25 mmF = −40 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 2 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 20 kNa = 2 mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя равными сосредоточенными силами P в третях пролёта (на расстоянии L/3 от каждой опоры). Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине пролёта δ_max.

P = 2 kNL = 6 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 30 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 30 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,07678 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·3063 = 3,126 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 80000·300/3,126 × 10⁸ = 0,07678 mm

Ответ

δ = 0,07678 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 14,18 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 40000·539961/775581 = 27848 N

Напряжение

σ₂ = 27848/1963 = 14,18 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 14,18 MPa

3.Кручение валов

Ответ: τ_max = 18,86 MPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Напряжение на каждом участке

T = 100 N·m = 100000 N·mm

τ_AB = 16·100000/(π·40³) = 7,958 MPa

τ_BC = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa

Ответ

τ_max = 18,86 MPa

4.Кручение валов

Ответ: d = 35,1 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·75)) = 35,1 mm

Ответ

d = 35,1 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 57,33 kN, R₂ = 40,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 106,7, M_C = 197,3 kN·m, M_D = 172, M_E = 130,7, M_F = 73,33, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 197,3 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 13,23 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·7 = 42 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·7·3,5

R_B = 147/5 = 29,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 29,4 = 12,6 kN

Нулевая поперечная сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 12,6/6 = 2,1 m

Наибольший положительный момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 12,6²/(2·6) = 13,23 kN·m

Ответ

M_max = 13,23 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 39,94 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (22500·75 − 1963·105)/(22500 − 1963) = 72,13 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·150³/12 + 22500·2,868² = 42,37 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·32,87² = 2,428 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 39,94 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 39,94 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 132,1 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

стенка: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·125 + 960·60)/2360 = 98,56 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·10³/12 + 1400·(125 − 98,56)² = 990420 mm⁴

стенка: 8·120³/12 + 960·(60 − 98,56)² = 2,579 × 10⁶ mm⁴

I_x = 990420 + 2,579 × 10⁶ = 3,57 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 130 − 98,56 = 31,44 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·31,44/3,57 × 10⁶ = 132,1 MPa

Ответ

σ_верх = 132,1 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_y′ = −48,89 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Формула преобразования для грани y′

σ_y′ = −40 − (−10)·0,6428 − 20·0,766 = −48,89 MPa

Проверка

Сумма нормальных напряжений не меняется при повороте.

σ_x′ = −31,11 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −80 = σ_x + σ_y

Ответ

σ_y′ = −48,89 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ₁ = 95,85 MPa

Напряжения на поверхности

σ = F/A = −40000/(π·25²/4) = −40000/490,9 = −81,49 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·25³) = 130,4 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = −40,74 MPa

R = √((−40,74)² + 130,4²) = 136,6 MPa

σ₁ = C + R = 95,85 MPa

σ₂ = C − R = −177,3 MPa

Ответ

σ₁ = 95,85 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 1,235 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 20000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 20000·2000²·1000²/(3·7,2 × 10¹²·3000) = 1,235 mm

Ответ

δ_P = 1,235 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 60,61 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 2000 N, L = 6000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Одна сила в точке L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm

δ₁ = 30,3 mm

Складываем обе силы

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 60,61 mm

Ответ

δ_max = 60,61 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 268,6 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/1400² = 268561 N = 268,6 kN

Ответ

P_cr = 268,6 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 43,9 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 43,9 mm

Ответ

d = 43,9 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 182,2, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials