Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (латунь) под действием осевой нагрузки.

P = 115 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 30 mm, длиной 500 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 50 mm, длиной 400 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 100 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) длиной 2,5 m передаёт крутящий момент 500 N·m. Угол закручивания между его концами не должен превышать 1°. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий этому условию.

T = 500 N·mL = 2,5 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (сталь) диаметром 20 mm обоими концами A и B заделан в жёсткие стены. В точке C, на расстоянии 1 m от A и 1,5 m от B, приложен крутящий момент 1500 N·m. Найдите реактивный момент T_A в стене A.

d = 20 mmT₀ = 1500 N·ma = 1 mb = 1,5 m

T_A = N·m

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP₁ = 40 kN в 1 mP₂ = 10 kN в 3,5 m

M_max = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

20 kN @ 6 m40 kN @ 1 m8 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 100 mm × 240 mm имеет прямоугольный вырез шириной 50 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 72 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 240 mmвырез: 50 × 20 mmцентр отверстия: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 160 MPa, σᵧ = 100 MPa и τₓᵧ = 20 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 20 MPa, σᵧ = −70 MPa и τₓᵧ = 60 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 50° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 20 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 4 kNw = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 135 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 135 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 20,34 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/113,1 = 1017 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1017/100000 = 0,01017 = 10168 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,01017·2000 mm = 20,34 mm

Ответ

δ = 20,34 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 34,41 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 120000·1963/400 = 589049 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 100000·589049/871792 = 67568 N

Напряжение

σ₂ = 67568/1963 = 34,41 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 34,41 MPa

3.Кручение валов

Ответ: d = 65,76 mm

Требуемый полярный момент инерции

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·2500/(39000·0,01745) = 1,836 × 10⁶ mm⁴

Диаметр

d = (32J/π)^1/4 = 65,76 mm

Ответ

d = 65,76 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

4.Кручение валов

Ответ: T_A = 900 N·m

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω. Когда оба конца заделаны, статика даёт только T_A + T_B = T₀; второе уравнение — условие совместности (равные углы закручивания обеих частей в нагруженном сечении).

Равновесие и совместность

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·1,5/2,5 = 900 N·m

T_B = 1500·1/2,5 = 600 N·m

Ответ

T_A = 900 N·m

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 37,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·1 + 10·3,5

R_B = 75/6 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 12,5 = 37,5 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·1 = 37,5·1 = 37,5 kN·m

под P₂: M = R_B·2,5 = 12,5·2,5 = 31,25 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 37,5 kN·m (под P₁)

Ответ

M_max = 37,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 36 kN, R₂ = 56 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 32, M_C = 16, M_D = −8, M_E = −40 kN·m, M_F = −20, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −40 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 22,64 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

стенка: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·190 + 3600·90)/5600 = 125,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·20³/12 + 2000·(190 − 125,7)² = 8,332 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·180³/12 + 3600·(90 − 125,7)² = 1,431 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,332 × 10⁶ + 1,431 × 10⁷ = 2,264 × 10⁷ mm⁴ = 22,64 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 22,64 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 112,8 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (24000·120 − 1000·72)/(24000 − 1000) = 122,1 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·240³/12 + 24000·−2,087² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

50·20³/12 + 1000·−50,09² = 2,542 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 112,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 112,8 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = −28,15 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = 20/36,06 = 0,5547, sin 2θ_s = −30/36,06 = −0,8321

2θ_s = atan2(−30, 20) = −56,31°

Угол на элементе

θ_s = −28,15°

проверка: θ_s − θ_p = −28,15 − 16,85 = −45°

Ответ

θ_s = −28,15°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 26,27 MPa

Формула преобразования

σ_θ = −25 + 45·−0,1736 + 60·0,9848 = 26,27 MPa

Ответ

σ_θ = 26,27 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 2,778 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 2,778 mm

Ответ

δ_max = 2,778 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 2,857 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 4000 N, w = 8 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·4000³/(48·1,12 × 10¹³) = 0,4762 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 2,381 mm

Сложите

δ_max = 0,4762 + 2,381 = 2,857 mm

Ответ

δ_max = 2,857 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 70,32 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2500² = 70322 N = 70,32 kN

Ответ

P_cr = 70,32 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 79,43 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·135000 = 337500 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 79,43 mm

Ответ

d = 79,43 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 100,7, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials