Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 20 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 60 mm и E = 120 GPa. Длина обоих — 400 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 50 kN. Найдите укорочение δ.

P = 50 kNстержень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 95 kNучасток 1: Ø25 mm, 1,5 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø16 mm, 1 m, медь (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (латунь; наружный диаметр 50 mm, внутренний диаметр 38 mm, длина 1,2 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 750 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 750 N·md_o = 50 mmd_i = 38 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 50 kW при 750 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 50 kWN = 750 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

55 kN @ 1 m12 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите расстояние x_c от A до точки перегиба между опорами (где изгибающий момент меняет знак).

L = 8 mw = 12 kN/m от 0 до 8 mопоры при x = 0 и x = 6 m

x_c = m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 100 mm × 240 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 72 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 20 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmM = 20 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 20 MPa, σᵧ = −30 MPa и τₓᵧ = −10 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −20 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 350 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Мизеса (энергии формоизменения).

σ_x = 20 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 4 kNa = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,01851 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·8482 = 1,081 × 10⁹ N

Укорочение

δ = 50000·400/1,081 × 10⁹ = 0,01851 mm

Ответ

δ = 0,01851 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 6,52 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 472,5 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 193,5·1500/117000 = 2,481 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 472,5·1000/117000 = 4,038 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,52 mm

Ответ

δ = 6,52 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ = 3,234 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Угол закручивания

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·1200/(39000·408885) = 0,05644 rad

φ = 0,05644·180/π = 3,234°

Ответ

φ = 3,234°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 6,755 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Полярный момент инерции

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·40/3,77 × 10⁶ = 6,755 MPa

Ответ

τ_max = 6,755 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 66,83 kN, R₂ = 24,17 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 66,83, M_C = 72,67 kN·m, M_D = 66,5, M_E = 48,33, M_F = 24,17, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 72,67 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: x_c = 5,333 m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·8·4

R_B = 384/6 = 64 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 64 = 32 kN

Нулевой момент

Между опорами M(x) = R_A·x − w·x²/2. Кроме x = 0, он равен нулю при x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·32/12 = 5,333 m

Ответ

x_c = 5,333 m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 113,5 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (24000·120 − 706,9·72)/(24000 − 706,9) = 121,5 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·240³/12 + 24000·−1,457² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−49,46² = 1,769 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 113,5 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 113,5 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 25,31 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

стенка: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·287,5 + 5040·140)/8340 = 198,4 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 220·15³/12 + 3300·(287,5 − 198,4)² = 2,628 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·280³/12 + 5040·(140 − 198,4)² = 5,01 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,628 × 10⁷ + 5,01 × 10⁷ = 7,638 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 295 − 198,4 = 96,64 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·96,64/7,638 × 10⁷ = 25,31 MPa

Ответ

σ_верх = 25,31 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = −10,9 °

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, 20 − −30) = −21,8°

Угол на элементе

θ_p = −10,9°

Ответ

θ_p = −10,9°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 5,604

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 0 MPa, R = 36,06 MPa

σ₁ = 36,06 MPa, σ₂ = −36,06 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(36,06² − 36,06·(−36,06) + (−36,06)²) = 62,45 MPa

n = 350/62,45 = 5,604

Ответ

n = 5,604

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 6,013 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 4000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·1000²·5000²/(3·9,24 × 10¹¹·6000) = 6,013 mm

Ответ

δ_P = 6,013 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 205,7 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·8000⁴/(384·70000·22,22) = 2,057 × 10⁸ mm⁴

I_req = 205,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 205,7 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 15,54 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/2000² = 15545 N = 15,54 kN

Ответ

P_cr = 15,54 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 69,09 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/12,5 = 100

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Ответ

σ_cr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials