Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 25 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (бронза) диаметром 50 mm, длиной 200 mm и E = 110 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,2 mm.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: бронза, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 45 kNучасток 1: Ø25 mm, 2 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø12 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Ступенчатый сплошной вал (латунь) заделан в A. Участок AB имеет диаметр 60 mm и длину 0,5 m; участок BC — диаметр 40 mm и длину 2 m. На свободном конце C действует крутящий момент 400 N·m. Найдите угол закручивания φ_C конца C в градусах.

T = 400 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 40 mm, L₂ = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (сталь) диаметром 60 mm обоими концами A и B заделан в жёсткие стены. В точке C, на расстоянии 2,5 m от A и 0,5 m от B, приложен крутящий момент 500 N·m. Найдите реактивный момент T_A в стене A.

d = 60 mmT₀ = 500 N·ma = 2,5 mb = 0,5 m

T_A = N·m

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

55 kN @ 4 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

15 kN @ 6 m35 kN @ 2 m10 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 140 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 160 mm. Толщина основания и полок 12 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 140 mmh = 160 mmt = 12 mm

ȳ = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mmM = 40 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 0 MPa, σᵧ = 10 MPa и τₓᵧ = −60 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 0 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 110 MPa, σᵧ = −20 MPa и τₓᵧ = 50 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 20° против часовой стрелки от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 50,23 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1963) = 9,26 × 10⁻⁷ mm/N

Нагрузка

P = 0,2/3,982 × 10⁻⁶ = 50229 N = 50,23 kN

Ответ

P = 50,23 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 2,562 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 91,67 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,67·2000/117000 = 1,567 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397,9·500/200000 = 0,9947 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,562 mm

Ответ

δ = 2,562 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ_C = 4,907 °

Полярные моменты инерции

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания каждого участка

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 400000·500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,004031 rad

φ_BC = 400000·2000/(39000·251327) = 0,08162 rad

Полный угол закручивания

φ_C = 0,004031 + 0,08162 = 0,08565 rad = 4,907°

Ответ

φ_C = 4,907°

4.Кручение валов

Ответ: T_A = 83,33 N·m

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω. Когда оба конца заделаны, статика даёт только T_A + T_B = T₀; второе уравнение — условие совместности (равные углы закручивания обеих частей в нагруженном сечении).

Равновесие и совместность

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·0,5/3 = 83,33 N·m

T_B = 500·2,5/3 = 416,7 N·m

Ответ

T_A = 83,33 N·m

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 72,67 kN, R₂ = 54,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 133,3, M_C = 242,7 kN·m, M_D = 218, M_E = 169,3, M_F = 96,67, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 242,7 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 30 kN, R₂ = 60 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = 25, M_C = 40 kN·m, M_D = 10, M_E = −30, M_F = −15, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 40 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 60,31 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 140·12 = 1680 mm², y₁ = 6 mm

две полки: A₂ = 2·12·148 = 3552 mm², y₂ = 12 + 148/2 = 86 mm

Центр тяжести

ȳ = (1680·6 + 3552·86)/5232 = 60,31 mm

Ответ

ȳ = 60,31 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 262,9 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

стенка: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·255 + 1920·120)/4920 = 202,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·30³/12 + 3000·(255 − 202,3)² = 8,551 × 10⁶ mm⁴

стенка: 8·240³/12 + 1920·(120 − 202,3)² = 2,223 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,551 × 10⁶ + 2,223 × 10⁷ = 3,078 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 202,3 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·202,3/3,078 × 10⁷ = 262,9 MPa

Ответ

σ_низ = 262,9 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 60,21 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((0 − 10)/2)² + −60²) = 60,21 MPa

Ответ

τ_max = 60,21 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = −3,479 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −65·0,6428 + 50·0,766 = −3,479 MPa

Ответ

τ_θ = −3,479 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,01136 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 4·3000³/(24·3,96 × 10¹¹) = 0,01136 rad

Ответ

θ_A = 0,01136 rad

Это 0,6511°.

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 20,25 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·6000⁴/(384·200000·16,67) = 2,025 × 10⁷ mm⁴

I_req = 20,25 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 20,25 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 34,33 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1050² = 34331 N = 34,33 kN

Ответ

P_cr = 34,33 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 137,1 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/6,25 = 120

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Ответ

σ_cr = 137,1 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials