Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 25 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (медь) диаметром 50 mm, длиной 300 mm и E = 120 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,2 mm.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 10 kNучасток 1: Ø35 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)участок 2: Ø12 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) длиной 1,2 m передаёт крутящий момент 250 N·m. Угол закручивания между его концами не должен превышать 1,5°. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий этому условию.

T = 250 N·mL = 1,2 mG = 80 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 20 kW при 1800 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 80 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 45 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 1 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mM₀ = 45 kN·m по часовой стрелке, в точке 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 25 kN в 3 mw = 4 kN/m от 0 до 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Полое прямоугольное (коробчатое) сечение имеет наружную ширину B = 220 mm, наружную высоту H = 375 mm и одинаковую толщину стенок t = 20 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

B = 220 mmH = 375 mmt = 20 mm

r = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 130 × 22 mm, стенку высотой 190 mm и толщиной 10 mm и нижнюю полку 160 × 12 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 130 × 22 mmстенка: 10 × 190 mmнижняя полка: 160 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 20 MPa и σᵧ = 40 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 60 MPa?

σ_x = 20 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 60 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 160 MPa, σᵧ = −70 MPa и τₓᵧ = 40 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 60° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 160 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 3 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя равными сосредоточенными силами P в третях пролёта (на расстоянии L/3 от каждой опоры). Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине пролёта δ_max.

P = 17 kNL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 46,2 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1963) = 1,273 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,2/4,329 × 10⁻⁶ = 46200 N = 46,2 kN

Ответ

P = 46,2 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 1,092 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 10,39 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 10,39·2000/100000 = 0,2079 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 88,42·1000/100000 = 0,8842 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,092 mm

Ответ

δ = 1,092 mm

3.Кручение валов

Ответ: d = 34,75 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Требуемый полярный момент инерции

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·1200/(80000·0,02618) = 143239 mm⁴

Диаметр

d = (32J/π)^1/4 = 34,75 mm

Ответ

d = 34,75 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

4.Кручение валов

Ответ: d = 18,9 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·80)) = 18,9 mm

Ответ

d = 18,9 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −11,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 45/4 = 11,25 kN (вверх)

R_A = −R_B = −11,25 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только R_A.

M_x = R_A·a = −11,25·1 = −11,25 kN·m

Ответ

M_x = −11,25 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 76,88 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·3 + 4·8·4

R_B = 203/8 = 25,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 25,38 = 31,63 kN

Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 31,63·3 − 4·3·1,5 = 76,88 kN·m

Ответ

M_x = 76,88 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 134,7 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

b = 180 mm, h = 335 mm

A = BH − bh = 220·375 − 180·335 = 22200 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 4,029 × 10⁸ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(4,029 × 10⁸/22200) = 134,7 mm

Ответ

r = 134,7 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 55,79 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 2860 mm², y = 213 mm

стенка: A = 1900 mm², y = 107 mm

нижняя полка: A = 1920 mm², y = 6 mm

Центр тяжести

ȳ = (2860·213 + 1900·107 + 1920·6)/6680 = 123,4 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 130·22³/12 + 2860·89,65² = 2,31 × 10⁷ mm⁴

стенка: 10·190³/12 + 1900·16,35² = 6,224 × 10⁶ mm⁴

нижняя полка: 160·12³/12 + 1920·117,4² = 2,646 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,31 × 10⁷ + 6,224 × 10⁶ + 2,646 × 10⁷

I_x = 5,579 × 10⁷ mm⁴ = 55,79 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 55,79 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 28,28 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (20 + 40)/2 = 30 MPa

R = σ₁ − C = 60 − 30 = 30 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 10²) = 28,28 MPa

Ответ

τ_xy = 28,28 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 22,14 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 45 + 115·−0,5 + 40·0,866 = 22,14 MPa

Ответ

σ_θ = 22,14 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 13,64 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 3000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 3000·2000³/(3·1,32 × 10¹²) = 6,061 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 7,576 mm

Сложите

δ = 6,061 + 7,576 = 13,64 mm

Ответ

δ = 13,64 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 2,357 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 17000 N, L = 5000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Одна сила в точке L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 1,179 mm

Складываем обе силы

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 2,357 mm

Ответ

δ_max = 2,357 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 8,583 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2100² = 8583 N = 8,583 kN

Ответ

P_cr = 8,583 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 17,27 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/6,25 = 200

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Ответ

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials