Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение
σ = F/A
Деформация
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Удлинение
ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация
εT = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение
τ = T·r/J
Сплошной вал
J = πd⁴/32
Полый вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания
φ = TL/(GJ)
Мощность
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
  2. Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
  3. Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
  4. Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямоугольник
I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей
I = Ic + A·d²
Составное сечение
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр
C = (σx + σy)/2
Радиус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Главные напряжения
σ1,2 = C ± R
Главное направление
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Наклонная площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
  4. Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя
Ø 20 mmСталь3 mP = 45 kN

Найдите осевую деформацию ε в стержне (сталь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 20 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Осевое напряжение и деформацияСложная
P = ?Ø20100 GPaØ80/60800 mm

Стержень (сталь) диаметром 20 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 120 MPa находится внутри трубы (латунь) с наружным диаметром 80 mm, внутренним диаметром 60 mm, E = 100 GPa и допускаемым напряжением 100 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку Pmax.

стержень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaтруба: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.Кручение валовСредняя
T = 250 N·md = 50 mmL = 1,5 mφ = ?

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 250 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Кручение валовСложная
Tdo​ = 75 mm, di​ = 45 mm

Полый вал передаёт 50 kW при 500 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τmax в валу.

P = 50 kWN = 500 rpmdo = 75 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
P1​ = 45 kNP2​ = 10 kNABC1,5 m4,5 m2 m

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P1 между опорами и сосредоточенной силой P2 в C. Найдите изгибающий момент Mx под силой P1. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP1 = 45 kN в 1,5 mP2 = 10 kN в 8 mопоры при x = 0 и x = 6 m
Mx = kN·m
6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
8 kN/m40 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

40 kN @ 12 m40 kN @ 2 m8 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя
100 mm150 mm45 mmØ50xIx​ = ?

Пластина 100 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 45 mm над низом. Найдите момент инерции сечения Ix относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 150 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр тяжести и момент инерцииСложная
2803024012xM = 40 kN·mразмеры в mm

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σверх на верхнем крае.

bf = 280 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 240 mmM = 40 kN·m
σверх = MPa
9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя
σx​ = 50σy​ = 90τxy​ = 30MPa

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 90 MPa и τₓᵧ = 30 MPa, σz = 0. Найдите абсолютное наибольшее касательное напряжение τabs в точке (с учётом всех площадок в трёх измерениях).

σx = 50 MPaσy = 90 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная
σx​ = 90σy​ = 60τxy​ = 60MPa

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 60 MPa и τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0). Найдите эквивалентное напряжение по Мизесу σvM.

σx = 90 MPaσy = 60 MPaτxy = 60 MPa
σvM = MPa
11.Прогиб балкиСредняя
w = 10 kN/mABθ2 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θA сечения балки на опоре A в радианах.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 57 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Прогиб балкиСложная
w = 8 kN/mδL = 4 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции Ireq, удовлетворяющий этому условию.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Устойчивость колоннСредняя
PL = 1,5 md = 20 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Устойчивость колоннСложная
PL = 1 md = 50 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σcr по формуле Эйлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm
σcr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 716,2 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 45·1000/314,2 = 143,2 MPa

Деформация (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 143,2/200000 = 0,0007162 = 716,2 µε

Ответ

ε = 716,2 µε
2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: Pmax = 169,6 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·2199 = 2,827 × 10⁸ N

Определяющая деформация

ε = min(0,0006, 0,001) = 0,0006 (сталь)

Наибольшая нагрузка

Pmax = 0,0006·2,827 × 10⁸ = 169646 N = 169,6 kN

Ответ

Pmax = 169,6 kN
3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,8979 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τmax = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(do⁴ − di⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(39000·613592) = 0,01567 rad
φ = 0,01567·180/π = 0,8979°

Ответ

φ = 0,8979°
4.Кручение валов

Ответ: τmax = 13,24 MPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τmax = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(do⁴ − di⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Полярный момент инерции

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τmax = T·(do/2)/J = 954930·37,5/2,704 × 10⁶ = 13,24 MPa

Ответ

τmax = 13,24 MPa
5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 45,63 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣMA = 0: RB·6 = 45·1,5 + 10·8
RB = 147,5/6 = 24,58 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 24,58 = 30,42 kN

Сечение под P1, оставляем левую часть

Mx = RA·1,5 = 30,42·1,5 = 45,63 kN·m

Ответ

Mx = 45,63 kN·m
6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R1 = 42 kN, R2 = 102 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

MA = 0, MB = 68, MC = 24, MD = −52, ME = −160 kN·m, MF = −80, MG = 0

Ответ

Отметка E: ME = −160 kN·m
7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: Ix = 25,78 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника Ic = bh³/12, для круга Ic = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (15000·75 − 1963·45)/(15000 − 1963) = 79,52 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·150³/12 + 15000·−4,518² = 28,43 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−34,52² = 2,646 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

Ix = 25,78 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ix = 25,78 × 10⁶ mm⁴
8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σверх = 36,96 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: Af = 280·30 = 8400 mm², yf = 240 + 30/2 = 255 mm
стенка: Aw = 12·240 = 2880 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (8400·255 + 2880·120)/11280 = 220,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·30³/12 + 8400·(255 − 220,5)² = 1,061 × 10⁷ mm⁴
стенка: 12·240³/12 + 2880·(120 − 220,5)² = 4,293 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,061 × 10⁷ + 4,293 × 10⁷ = 5,354 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 270 − 220,5 = 49,47 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·49,47/5,354 × 10⁷ = 36,96 MPa

Ответ

σверх = 36,96 MPa
9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τabs = 53,03 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. В трёх измерениях абсолютное наибольшее касательное напряжение равно (σmax − σmin)/2 по всем трём главным напряжениям; при плоском напряжённом состоянии третье из них равно нулю.

στxyCσ1​σ2​

Главные напряжения в плоскости

C = 70 MPa, R = √((−20)² + 30²) = 36,06 MPa
σ1 = 106,1 MPa, σ2 = 33,94 MPa, σz = 0

Наибольший из трёх кругов

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(72,11, 106,1, 33,94)/2 = 53,03 MPa

Ответ

τabs = 53,03 MPa

Здесь определяющим является круг вне плоскости: абсолютный максимум больше максимума в плоскости R.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σvM = 130,8 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σY; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Главные напряжения

C = 75 MPa, R = 61,85 MPa
σ1 = 136,8 MPa, σ2 = 13,15 MPa, σ3 = 0

Мизес

σvM = √(136,8² − 136,8·13,15 + 13,15²) = 130,8 MPa

Ответ

σvM = 130,8 MPa
11.Прогиб балки

Ответ: θA = 0,005316 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Угол поворота на конце

θA = wL³/(24EI) = 10·2000³/(24·6,27 × 10¹¹) = 0,005316 rad

Ответ

θA = 0,005316 rad

Это 0,3046°.

12.Прогиб балки

Ответ: Ireq = 218,2 × 10⁶ mm⁴

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Ограничение прогиба

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·4000⁴/(384·11000·11,11) = 2,182 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 218,2 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ireq = 218,2 × 10⁶ mm⁴
13.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 6,89 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1500² = 6890 N = 6,89 kN

Ответ

Pcr = 6,89 kN
14.Устойчивость колонн

Ответ: σcr = 77,11 MPa

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12,5 = 160

Критическое напряжение

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Ответ

σcr = 77,11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials