Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.
Последовательности и ряды
Арифметическая прогрессия
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матрицы и определители
определитель 2×2
det = ad − bc
Обратная матрица 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Собственные значения
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Дифференциальные уравнения
Экспоненциальный рост/убывание
dy/dt = ky → y = y0ekt
Период полураспада
k = ln 2 / t½
Закон охлаждения Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Интегрирующий множитель
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак смешения
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Тренировочные задачи
1.Численные методыСредняя
Метод трапеций применяется для ∫13 1/x dx. Погрешность не больше (b − a)³·M/(12n²), где M = max|f″| на [1, 3]. Найдите наименьшее число полос n, гарантирующее погрешность меньше 0,0005.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,0005
n =
2.Численные методыСложная
Используйте метод Эйлера с h = 0,2 для y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5, чтобы оценить y3 ≈ y(0,6).
y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,2
y3 =
3.Последовательности и рядыСредняя
Примените радикальный признак Коши к Σk=1∞ ((1k + 2)/(4k + 5))ᵏ. Найдите L = lim |ak|1/k.
ak = ((1k + 2)/(4k + 5))ᵏ
L =
4.Последовательности и рядыСложная
Используйте многочлен Маклорена степени 3 для f(x) = 1/(1 − x), чтобы приблизить f(0,4). Укажите P₃(0,4).
f(x) = 1/(1 − x)n = 3x = 0,4
P₃(0.4) =
5.Матрицы и определителиСредняя
Найдите определитель det A показанной матрицы 3×3 A.
A = [−1 −4 −1; 0 3 −5; 3 −5 −3]
det A =
6.Матрицы и определителиСложная
Найдите большее собственное значение λ показанной матрицы A.
A = [3 −2; −6 2]
λ =
7.Дифференциальные уравненияСредняя
Чашку кофе температурой 94 °C оставили в комнате при 23 °C. Через 12 min температура равна 73 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через какое время после начала, t, температура достигнет 88 °C?
T0 = 94 °CTa = 23 °CT(12) = 73 °CT = 88 °C
t = min
8.Дифференциальные уравненияСложная
В баке 200 L чистой воды. Рассол с содержанием соли 0,2 kg на литр поступает со скоростью 10 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Через сколько минут t в баке будет 16 kg соли?
V = 200 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min
t = min
3Растворы
1.Численные методы
Ответ: n = 52
Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.
Оценка второй производной
M = 2/1³ = 2
Выразите n
n² > 8·2/(12·0,0005) = 2667
n > 51,64 → n = 52
Ответ
n = 52
2.Численные методы
Ответ: y3 = 1,019
Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.
Шаги Эйлера
y₁ = 0,5 + 0,2·(0,75) = 0,65
y₂ = 0,65 + 0,2·(0,8775) = 0,8255
y₃ = 0,8255 + 0,2·(0,96955) = 1,01941
График
y3 = 1,019
Ответ
y3 = 1,019
Точное значение равно y(0,6) = 1,05065.
3.Последовательности и ряды
Ответ: L = 0,25
Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; радикальный признак Коши: L = lim |ak|1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σck(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |ck/ck+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.
Корень из членов
|ak|1/k = (1k + 2)/(4k + 5) → 1/4
Вывод
L = 0,25 < 1
Ответ
L = 0,25
L < 1, поэтому ряд сходится.
4.Последовательности и ряды
Ответ: P₃(0.4) = 1,624
Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.
Многочлен Маклорена
P₃(x) = 1 + x + x² + x³
Подставьте
P₃(0,4) = 1 + 0,4 + 0,16 + 0,064 = 1,624
Ответ
P₃(0,4) = 1,624
Точное значение равно f(0,4) = 1,666667; погрешность 0,0426667 уменьшается, если взять больше членов или точку ближе к 0.
5.Матрицы и определители
Ответ: det A = 103
Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.
Миноры 2×2 первой строки
M₁₁ = −34, M₁₂ = 15, M₁₃ = −9
Разложение по строке
det A = (−1)·(−34) − (−4)·15 + (−1)·(−9) = 103
Ответ
det A = 103
6.Матрицы и определители
Ответ: λ = 6
Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.
Характеристическое уравнение
λ² − (5)λ + (−6) = 0
Решите
λ = (5 ± √(49))/2 → λ = −1, 6
λ = 6
Ответ
λ = 6
7.Дифференциальные уравнения
Ответ: t = 3,022 min
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.
Константа охлаждения
k = ln(71/50)/12 = 0,02922 min⁻¹
Время достижения целевой температуры
t = ln(71/65)/0,02922 = 3,022 min
Ответ
t = 3,022 min
8.Дифференциальные уравнения
Ответ: t = 10,22 min
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.