Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.
Последовательности и ряды
Арифметическая прогрессия
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матрицы и определители
определитель 2×2
det = ad − bc
Обратная матрица 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Собственные значения
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Дифференциальные уравнения
Экспоненциальный рост/убывание
dy/dt = ky → y = y0ekt
Период полураспада
k = ln 2 / t½
Закон охлаждения Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Интегрирующий множитель
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак смешения
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Тренировочные задачи
1.Численные методыСредняя
Приблизьте ∫01,5 1/(1 + x³) dx методом Симпсона с n = 4 полосами. Укажите S.
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 4
S =
2.Численные методыСложная
Используйте метод Эйлера с h = 0,2 для y′ = y(2 − y), y(0) = 1, чтобы оценить y3 ≈ y(0,6).
y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,2
y3 =
3.Последовательности и рядыСредняя
Примените признак Даламбера к Σk=1∞ k·4ᵏ/3ᵏ. Найдите L = lim |ak+1/ak|.
ak = k·4ᵏ/3ᵏ
L =
4.Последовательности и рядыСложная
Функция f(x) = sin x приближается в точке x = 2 её многочленом Маклорена степени n. С оценкой Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! и M = 1 найдите наименьшую степень n, гарантирующую погрешность меньше 0,001.
f(x) = sin xx = 2M = 1ε = 0,001
n =
5.Матрицы и определителиСредняя
Найдите определитель det A показанной матрицы 3×3 A.
A = [−1 3 4; −1 1 −1; −1 0 −4]
det A =
6.Матрицы и определителиСложная
Найдите большее собственное значение λ показанной матрицы A.
A = [2 4; −5 −7]
λ =
7.Дифференциальные уравненияСредняя
Чашку кофе температурой 83 °C оставили в комнате при 23 °C. Через 19 min температура равна 32 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.
T0 = 83 °CTa = 23 °CT(19) = 32 °C
k = min⁻¹
8.Дифференциальные уравненияСложная
В баке 200 L воды, в которой растворено 20 kg соли. Рассол с содержанием соли 0,25 kg на литр поступает со скоростью 10 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Сколько соли m будет в баке через 10 min?
V = 200 Lm0 = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
3Растворы
1.Численные методы
Ответ: S = 1,011
Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.
У этого интеграла нет элементарной первообразной, и именно в таких случаях нужен численный метод.
2.Численные методы
Ответ: y3 = 1,561
Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.
Шаги Эйлера
y₁ = 1 + 0,2·(1) = 1,2
y₂ = 1,2 + 0,2·(0,96) = 1,392
y₃ = 1,392 + 0,2·(0,846336) = 1,561267
График
y3 = 1,561
Ответ
y3 = 1,561
Точное значение равно y(0,6) = 1,53705.
3.Последовательности и ряды
Ответ: L = 1,333
Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; радикальный признак Коши: L = lim |ak|1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σck(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |ck/ck+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.
Отношение соседних членов
|ak+1/ak| = ((k + 1)/k)·4/3 → 4/3
Вывод
L = 1,333 > 1
Ответ
L = 1,333
L > 1, поэтому ряд расходится.
4.Последовательности и ряды
Ответ: n = 9
Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.
Оценки при возрастающем n
n = 8: 0,001411 ≥ 0,001
n = 9: 0,0002822 < 0,001
Наименьшая степень
n = 9
Ответ
n = 9
5.Матрицы и определители
Ответ: det A = −1
Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.
Миноры 2×2 первой строки
M₁₁ = −4, M₁₂ = 3, M₁₃ = 1
Разложение по строке
det A = (−1)·(−4) − 3·3 + 4·1 = −1
Ответ
det A = −1
6.Матрицы и определители
Ответ: λ = −2
Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.
Характеристическое уравнение
λ² − (−5)λ + (6) = 0
Решите
λ = (−5 ± √(1))/2 → λ = −3, −2
λ = −2
Ответ
λ = −2
7.Дифференциальные уравнения
Ответ: k = 0,09985 min⁻¹
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.
Отношение разностей температур
e−19k = 9/60
Найдите k
k = ln(60/9)/19 = 0,09985 min⁻¹
Ответ
k = 0,09985 min⁻¹
8.Дифференциальные уравнения
Ответ: m = 31,8 kg
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.
Составьте уравнение
dm/dt = 10·0,25 − (10/200)·m = 2,5 − 0,05·m
Решите
Интегрирующий множитель равен ert/V; решение стремится к равновесному значению c·V.