Численные методы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

Последовательности и ряды

Арифметическая прогрессия: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости: R = lim |c_k/c_k+1|
Многочлен Тейлора: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Матрицы и определители

определитель 2×2: det = ad − bc
Обратная матрица 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Собственные значения: det(A − λI) = 0
Правило Крамера: x_i = det(A_i)/det(A)

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Тренировочные задачи

1.Численные методыСредняя

Приблизьте ∫₀¹ x³ dx методом трапеций, n = 2, и сравните с точным значением. Найдите абсолютную погрешность |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

2.Численные методыСложная

Используйте метод Эйлера с h = 0,2 для y′ = t − y, y(0) = 3, чтобы оценить y₄ ≈ y(0,8).

y′ = t − yy(0) = 3h = 0,2

y₄ =

3.Последовательности и рядыСредняя

Степенной ряд Σ_k=1^∞ (x − 1)ᵏ/(k·5ᵏ) сходится на интервале вокруг x₀ = 1. Найдите правый конец x этого интервала.

Σ (x − 1)ᵏ/(k·5ᵏ)x₀ = 1

x =

4.Последовательности и рядыСложная

Узнайте ряд и найдите его сумму: S = Σ_k=0^∞ 3ᵏ/k!.

a_k = 3ᵏ/k!

S =

5.Матрицы и определителиСредняя

Пусть C = AB для показанных матриц. Найдите элемент c₁₁ (строка 1, столбец 1).

A = [5 −2; 1 0]B = [5 −3; −4 −4]

c₁₁ =

6.Матрицы и определителиСложная

Решите систему 5x + 3y = 10 и 3x − 5y = 1. Найдите x.

5x + 3y = 103x − 5y = 1

x =

7.Дифференциальные уравненияСредняя

Чашку кофе температурой 82 °C оставили в комнате при 23 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,03 min⁻¹ найдите температуру T через 20 min.

T₀ = 82 °CT_a = 23 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 20 min

T = °C

8.Дифференциальные уравненияСложная

В баке 500 L воды, в которой растворено 20 kg соли. Рассол с содержанием соли 0,1 kg на литр поступает со скоростью 2 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Сколько соли m будет в баке через 20 min?

V = 500 Lm₀ = 20 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min

m = kg

3Растворы

1.Численные методы

Ответ: |E| = 0,0625

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Точное значение

I = 0,25

Метод трапеций

T = (0,5/2)·(0 + 2·0,125 + 1) = 0,3125

Погрешность

|E| = |0,3125 − 0,25| = 0,0625

Ответ

|E| = 0,0625

Относительная погрешность: 25%.

2.Численные методы

Ответ: y₄ = 1,438

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Шаги Эйлера

y₁ = 3 + 0,2·(−3) = 2,4

y₂ = 2,4 + 0,2·(−2,2) = 1,96

y₃ = 1,96 + 0,2·(−1,56) = 1,648

y₄ = 1,648 + 0,2·(−1,048) = 1,4384

График

y₄ = 1,438

Ответ

y₄ = 1,438

Точное значение равно y(0,8) = 1,597316.

3.Последовательности и ряды

Ответ: x = 6

Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; радикальный признак Коши: L = lim |a_k|^1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |c_k/c_k+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.

Коэффициенты

c_k/c_k+1 = 5·((k + 1)/k) → 5

Радиус

R = 5

Интервал

−4 < x < 6

x = 6

Ответ

x = 6

В двух конечных точках признак Даламбера ничего не говорит; их нужно проверять отдельно.

4.Последовательности и ряды

Ответ: S = 20,09

Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.

Стандартные ряды

Σ xᵏ/k! = eˣ

Подставьте

x = 3

S = e³ = 20,09

Ответ

S = 20,09

5.Матрицы и определители

Ответ: c₁₁ = 33

Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.

Строка на столбец

c₁₁ = 5·5 + (−2)·(−4) = 33

Ответ

c₁₁ = 33

6.Матрицы и определители

Ответ: x = 1,559

Определитель матрицы коэффициентов

det A = 5·(−5) − 3·3 = −34

Замените столбец x

det Aₓ = 10·(−5) − 3·1 = −53

x = −53/(−34) = 1,559

Ответ

x = 1,559

y = 0,7353

7.Дифференциальные уравнения

Ответ: T = 55,38 °C

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Решение закона охлаждения

T(t) = 23 + 59·e^−0,03t

Подставьте t

T(20) = 23 + 59·0,5488 = 55,38 °C

Ответ

T = 55,38 °C

8.Дифференциальные уравнения

Ответ: m = 22,31 kg

Составьте уравнение

dm/dt = 2·0,1 − (2/500)·m = 0,2 − 0,004·m

Решите

Интегрирующий множитель равен e^rt/V; решение стремится к равновесному значению c·V.

m(t) = 50 + (−30)·e^−t/250

Подставьте t

m(20) = 50 + (−30)·0,9231 = 22,31 kg

Ответ

m = 22,31 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods