Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.
Последовательности и ряды
Арифметическая прогрессия
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матрицы и определители
определитель 2×2
det = ad − bc
Обратная матрица 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Собственные значения
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Дифференциальные уравнения
Экспоненциальный рост/убывание
dy/dt = ky → y = y0ekt
Период полураспада
k = ln 2 / t½
Закон охлаждения Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Интегрирующий множитель
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак смешения
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Тренировочные задачи
1.Численные методыСредняя
Приблизьте ∫03 √x·e−x dx методом Симпсона с n = 4 полосами. Укажите S.
f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 3]n = 4
S =
2.Численные методыСложная
Решите y′ = −y, y(0) = 3 методом Эйлера с шагом h = 0,25 до t = 1. Точное решение равно y = y₀e−t. Найдите глобальную погрешность |E| = |y(1) − y4|.
y′ = −yy(0) = 3h = 0,25
|E| =
3.Последовательности и рядыСредняя
Степенной ряд Σk=1∞ k²·2ᵏ·(x − 3)ᵏ сходится на интервале вокруг x₀ = 3. Найдите левый конец x этого интервала.
Σ k²·2ᵏ·(x − 3)ᵏx₀ = 3
x =
4.Последовательности и рядыСложная
Используйте многочлен Маклорена степени 5 для f(x) = sin x, чтобы приблизить f(2,5). Укажите P₅(2,5).
f(x) = sin xn = 5x = 2,5
P₅(2.5) =
5.Матрицы и определителиСредняя
Найдите определитель det A показанной матрицы 3×3 A.
A = [4 0 −5; 0 5 1; 0 −1 −4]
det A =
6.Матрицы и определителиСложная
Решите систему 3x − 4y = −5 и 2x − 3y = −9. Найдите x.
3x − 4y = −52x − 3y = −9
x =
7.Дифференциальные уравненияСредняя
Банку газировки температурой 4 °C достали из холодильника в комнату при 24 °C. Через 10 min температура равна 9 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.
T0 = 4 °CTa = 24 °CT(10) = 9 °C
k = min⁻¹
8.Дифференциальные уравненияСложная
Решите задачу Коши y′ + 2y/x = 3 при x > 0, y(1) = 3. Найдите y(3).
y′ + 2y/x = 3y(1) = 3
y(3) =
3Растворы
1.Численные методы
Ответ: S = 0,7254
Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.
У этого интеграла нет элементарной первообразной, и именно в таких случаях нужен численный метод.
2.Численные методы
Ответ: |E| = 0,1544
Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.
Шаги Эйлера
y4 = 0,949219
Точное значение
y(1) = 1,103638
Глобальная погрешность
|E| = |1,103638 − 0,949219| = 0,1544
График
Ответ
|E| = 0,1544
Уменьшение h вдвое примерно вдвое уменьшает погрешность метода Эйлера.
3.Последовательности и ряды
Ответ: x = 2,5
Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; радикальный признак Коши: L = lim |ak|1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σck(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |ck/ck+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.
Коэффициенты
ck/ck+1 = (1/2)·(k/(k + 1))² → 1/2
Радиус
R = 0,5
Интервал
2,5 < x < 3,5
x = 2,5
Ответ
x = 2,5
В двух конечных точках признак Даламбера ничего не говорит; их нужно проверять отдельно.
4.Последовательности и ряды
Ответ: P₅(2.5) = 0,7096
Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.
Многочлен Маклорена
P₅(x) = x − 0,1667x³ + 0,008333x⁵
Подставьте
P₅(2,5) = 2,5 − 2,604167 + 0,813802 = 0,7096
Ответ
P₅(2,5) = 0,7096
Точное значение равно f(2,5) = 0,598472; погрешность −0,111163 уменьшается, если взять больше членов или точку ближе к 0.
5.Матрицы и определители
Ответ: det A = −76
Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.
Миноры 2×2 первой строки
M₁₁ = −19, M₁₂ = 0, M₁₃ = 0
Разложение по строке
det A = 4·(−19) − 0·0 + (−5)·0 = −76
Ответ
det A = −76
6.Матрицы и определители
Ответ: x = 21
Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.
Определитель матрицы коэффициентов
det A = 3·(−3) − (−4)·2 = −1
Замените столбец x
det Aₓ = (−5)·(−3) − (−4)·(−9) = −21
x = −21/(−1) = 21
Ответ
x = 21
y = 17
7.Дифференциальные уравнения
Ответ: k = 0,02877 min⁻¹
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.
Отношение разностей температур
e−10k = -15/-20
Найдите k
k = ln(-20/-15)/10 = 0,02877 min⁻¹
Ответ
k = 0,02877 min⁻¹
8.Дифференциальные уравнения
Ответ: y(3) = 3,222
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.