Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.
Последовательности и ряды
Арифметическая прогрессия
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матрицы и определители
определитель 2×2
det = ad − bc
Обратная матрица 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Собственные значения
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Дифференциальные уравнения
Экспоненциальный рост/убывание
dy/dt = ky → y = y0ekt
Период полураспада
k = ln 2 / t½
Закон охлаждения Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Интегрирующий множитель
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак смешения
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Тренировочные задачи
1.Численные методыСредняя
Скорость транспортного средства измеряется каждые 2 s (таблица). Оцените пройденный путь s от t = 0 до t = 8 s методом трапеций.
h = 2 sn = 4
s = m
2.Численные методыСложная
Используйте метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) с h = 0,1 для y′ = t − y, y(0) = 2, чтобы оценить y2 ≈ y(0,2).
y′ = t − yy(0) = 2h = 0,1
y2 =
3.Последовательности и рядыСредняя
Ровно один из четырёх рядов расходится. Нажмите на него.
Найдите коэффициент c₂ при (x − 1)² в ряде Тейлора функции f(x) = e−x в точке a = 1.
f(x) = e−xa = 1k = 2
c₂ =
5.Матрицы и определителиСредняя
Пусть C = AB для показанных матриц. Найдите элемент c11 (строка 1, столбец 1).
A = [4 5; −5 3]B = [5 5; −5 −4]
c11 =
6.Матрицы и определителиСложная
Решите систему −6x − 4y = 0 и 5x − 4y = −10. Найдите x.
−6x − 4y = 05x − 4y = −10
x =
7.Дифференциальные уравненияСредняя
Чашку кофе температурой 82 °C оставили в комнате при 18 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,03 min⁻¹ найдите температуру T через 14 min.
Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.
Взвешенная сумма
1 + 2·6 + 2·10 + 2·11 + 16 = 71
Метод трапеций
s = (2/2)·71 = 71 m
Ответ
s = 71 m
2.Численные методы
Ответ: y2 = 1,657
Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.
Шаги метода Хойна
y₁ = 2 + (0,1/2)(−2 − 1,7) = 1,815
y₂ = 1,815 + (0,1/2)(−1,715 − 1,4435) = 1,657075
График
y2 = 1,657
Ответ
y2 = 1,657
Точное значение равно y(0,2) = 1,656192.
3.Последовательности и ряды
Ответ: D: Σ (5k + 1)/(k + 2)
Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; радикальный признак Коши: L = lim |ak|1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σck(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |ck/ck+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.
C: Σ (3/4)ᵏ → Геометрический ряд с r = 3/4, |r| < 1: сходится.
D: Σ (5k + 1)/(k + 2) → Члены стремятся к 5, а не к 0: расходится по необходимому признаку (признаку n-го члена).
Ответ
D: Σ (5k + 1)/(k + 2)
Ответ
D: Σ (5k + 1)/(k + 2)
4.Последовательности и ряды
Ответ: c₂ = 0,1839
Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.
Производная f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = (−1)²·e−x
Коэффициент
c₂ = (−1)²·e−1/2! = 0,1839
c₂ = 0,1839
Ответ
c₂ = 0,1839
5.Матрицы и определители
Ответ: c11 = −5
Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.
Строка на столбец
c11 = 4·5 + 5·(−5) = −5
Ответ
c11 = −5
6.Матрицы и определители
Ответ: x = −0,9091
Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.
Определитель матрицы коэффициентов
det A = (−6)·(−4) − (−4)·5 = 44
Замените столбец x
det Aₓ = 0·(−4) − (−4)·(−10) = −40
x = −40/44 = −0,9091
Ответ
x = −0,9091
y = 1,364
7.Дифференциальные уравнения
Ответ: T = 60,05 °C
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.
Решение закона охлаждения
T(t) = 18 + 64·e−0,03t
Подставьте t
T(14) = 18 + 64·0,657 = 60,05 °C
Ответ
T = 60,05 °C
8.Дифференциальные уравнения
Ответ: y(0.5) = 2,563
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.