Численные методы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

Последовательности и ряды

Арифметическая прогрессия: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости: R = lim |c_k/c_k+1|
Многочлен Тейлора: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Матрицы и определители

определитель 2×2: det = ad − bc
Обратная матрица 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Собственные значения: det(A − λI) = 0
Правило Крамера: x_i = det(A_i)/det(A)

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Тренировочные задачи

1.Численные методыСредняя

Приблизьте ∫₀¹ 1/√(1 + x⁴) dx методом Симпсона с n = 2 полосами. Укажите S.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 2

S =

2.Численные методыСложная

Используйте метод Эйлера с h = 0,25 для y′ = y − t², y(0) = −1, чтобы оценить y₃ ≈ y(0,75).

y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,25

y₃ =

3.Последовательности и рядыСредняя

Ровно один из четырёх рядов сходится. Нажмите на него.

A: Σ k!/2ᵏB: Σ 5ᵏ/k!C: Σ ln k / kD: Σ 2/k

1A: Σ k!/2ᵏ
2B: Σ 5ᵏ/k!
3C: Σ ln k / k
4D: Σ 2/k

4.Последовательности и рядыСложная

Функция f(x) = sin x приближается в точке x = 1 её многочленом Маклорена степени n. С оценкой Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! и M = 1 найдите наименьшую степень n, гарантирующую погрешность меньше 1 × 10⁻⁶.

f(x) = sin xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

n =

5.Матрицы и определителиСредняя

Найдите определитель det A показанной матрицы 3×3 A.

A = [0 2 −4; −5 −5 4; −1 −1 3]

det A =

6.Матрицы и определителиСложная

Решите систему 2x + 5y = −3 и −3x − y = −5. Найдите x.

2x + 5y = −3−3x − y = −5

x =

7.Дифференциальные уравненияСредняя

Чашку кофе температурой 94 °C оставили в комнате при 22 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,06 min⁻¹ найдите температуру T через 19 min.

T₀ = 94 °CT_a = 22 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 19 min

T = °C

8.Дифференциальные уравненияСложная

В баке 200 L воды, в которой растворено 20 kg соли. Рассол с содержанием соли 0,05 kg на литр поступает со скоростью 4 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Сколько соли m будет в баке через 75 min?

V = 200 Lm₀ = 20 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min

m = kg

3Растворы

1.Численные методы

Ответ: S = 0,9313

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Узлы и значения

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,970143 + 0,707107 = 5,587677

Метод Симпсона

S = (0,5/3)·5,587677 = 0,9313

Ответ

S = 0,9313

У этого интеграла нет элементарной первообразной, и именно в таких случаях нужен численный метод.

2.Численные методы

Ответ: y₃ = −2,035

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Шаги Эйлера

y₁ = −1 + 0,25·(−1) = −1,25

y₂ = −1,25 + 0,25·(−1,3125) = −1,578125

y₃ = −1,578125 + 0,25·(−1,828125) = −2,035156

График

y₃ = −2,035

Ответ

y₃ = −2,035

Точное значение равно y(0,75) = −2,2885.

3.Последовательности и ряды

Ответ: B: Σ 5ᵏ/k!

Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; радикальный признак Коши: L = lim |a_k|^1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |c_k/c_k+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.

Проверьте каждый ряд

A: Σ k!/2ᵏ → Признак Даламбера: L = lim (k + 1)/2 = ∞, расходится.

B: Σ 5ᵏ/k! → Признак Даламбера: L = lim 5/(k + 1) = 0 < 1, сходится.

C: Σ ln k / k → Больше 1/k при k ≥ 3: расходится по признаку сравнения с гармоническим рядом.

D: Σ 2/k → Кратное гармонического ряда (p = 1): расходится.

Ответ

B: Σ 5ᵏ/k!

Ответ

B: Σ 5ᵏ/k!

4.Последовательности и ряды

Ответ: n = 9

Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.

Оценки при возрастающем n

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶

n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Наименьшая степень

n = 9

Ответ

n = 9

5.Матрицы и определители

Ответ: det A = 22

Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.

Миноры 2×2 первой строки

M₁₁ = −11, M₁₂ = −11, M₁₃ = 0

Разложение по строке

det A = 0·(−11) − 2·(−11) + (−4)·0 = 22

Ответ

det A = 22

6.Матрицы и определители

Ответ: x = 2,154

Определитель матрицы коэффициентов

det A = 2·(−1) − 5·(−3) = 13

Замените столбец x

det Aₓ = (−3)·(−1) − 5·(−5) = 28

x = 28/13 = 2,154

Ответ

x = 2,154

y = −1,462

7.Дифференциальные уравнения

Ответ: T = 45,03 °C

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Решение закона охлаждения

T(t) = 22 + 72·e^−0,06t

Подставьте t

T(19) = 22 + 72·0,3198 = 45,03 °C

Ответ

T = 45,03 °C

8.Дифференциальные уравнения

Ответ: m = 12,23 kg

Составьте уравнение

dm/dt = 4·0,05 − (4/200)·m = 0,2 − 0,02·m

Решите

Интегрирующий множитель равен e^rt/V; решение стремится к равновесному значению c·V.

m(t) = 10 + 10·e^−t/50

Подставьте t

m(75) = 10 + 10·0,2231 = 12,23 kg

Ответ

m = 12,23 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods