Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.
Последовательности и ряды
Арифметическая прогрессия
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матрицы и определители
определитель 2×2
det = ad − bc
Обратная матрица 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Собственные значения
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Дифференциальные уравнения
Экспоненциальный рост/убывание
dy/dt = ky → y = y0ekt
Период полураспада
k = ln 2 / t½
Закон охлаждения Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Интегрирующий множитель
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак смешения
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Тренировочные задачи
1.Численные методыСредняя
Приблизьте ∫01,5 √(1 + x³) dx методом Симпсона с n = 2 полосами. Укажите S.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 2
S =
2.Численные методыСложная
Используйте метод Эйлера с h = 0,2 для y′ = y − t², y(0) = 2, чтобы оценить y4 ≈ y(0,8).
y′ = y − t²y(0) = 2h = 0,2
y4 =
3.Последовательности и рядыСредняя
Найдите сумму S = Σk=1∞ 6/(k(k + 1)).
ak = 6/(k(k + 1))
S =
4.Последовательности и рядыСложная
Используйте многочлен Маклорена степени 3 для f(x) = 1/(1 − x), чтобы приблизить f(0,5). Укажите P₃(0,5).
f(x) = 1/(1 − x)n = 3x = 0,5
P₃(0.5) =
5.Матрицы и определителиСредняя
Найдите определитель det A показанной матрицы 3×3 A.
A = [−2 −4 5; 2 −5 −5; 5 1 2]
det A =
6.Матрицы и определителиСложная
Найдите большее собственное значение λ показанной матрицы A.
A = [0 −2; −3 −1]
λ =
7.Дифференциальные уравненияСредняя
Кованую стальную деталь температурой 400 °C оставили остывать в цехе при 25 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). При k = 0,04 min⁻¹ найдите температуру T через 54 min.
T0 = 400 °CTa = 25 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 54 min
T = °C
8.Дифференциальные уравненияСложная
Решите y′ + y = 9e−2t при y(0) = 0. Найдите y(2).
y′ + y = 9e−2ty(0) = 0
y(2) =
3Растворы
1.Численные методы
Ответ: S = 1,965
Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.
Узлы и значения
h = 0,75
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1,192424 + 2,09165 = 7,861346
Метод Симпсона
S = (0,75/3)·7,861346 = 1,965
Ответ
S = 1,965
У этого интеграла нет элементарной первообразной, и именно в таких случаях нужен численный метод.
2.Численные методы
Ответ: y4 = 4,025
Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.
Шаги Эйлера
y₁ = 2 + 0,2·(2) = 2,4
y₂ = 2,4 + 0,2·(2,36) = 2,872
y₃ = 2,872 + 0,2·(2,712) = 3,4144
y₄ = 3,4144 + 0,2·(3,0544) = 4,02528
График
y4 = 4,025
Ответ
y4 = 4,025
Точное значение равно y(0,8) = 4,24.
3.Последовательности и ряды
Ответ: S = 6
Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; радикальный признак Коши: L = lim |ak|1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σck(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |ck/ck+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.
Простые дроби
6/(k(k + 1)) = 6·(1/k − 1/(k + 1))
Отмена
S = 6·1 = 6
Ответ
S = 6
4.Последовательности и ряды
Ответ: P₃(0.5) = 1,875
Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.
Многочлен Маклорена
P₃(x) = 1 + x + x² + x³
Подставьте
P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 = 1,875
Ответ
P₃(0,5) = 1,875
Точное значение равно f(0,5) = 2; погрешность 0,125 уменьшается, если взять больше членов или точку ближе к 0.
5.Матрицы и определители
Ответ: det A = 261
Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.
Миноры 2×2 первой строки
M₁₁ = −5, M₁₂ = 29, M₁₃ = 27
Разложение по строке
det A = (−2)·(−5) − (−4)·29 + 5·27 = 261
Ответ
det A = 261
6.Матрицы и определители
Ответ: λ = 2
Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.
Характеристическое уравнение
λ² − (−1)λ + (−6) = 0
Решите
λ = (−1 ± √(25))/2 → λ = −3, 2
λ = 2
Ответ
λ = 2
7.Дифференциальные уравнения
Ответ: T = 68,25 °C
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.
Решение закона охлаждения
T(t) = 25 + 375·e−0,04t
Подставьте t
T(54) = 25 + 375·0,1153 = 68,25 °C
Ответ
T = 68,25 °C
8.Дифференциальные уравнения
Ответ: y(2) = 1,053
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.