Численные методы: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Численные методы

Бисекция: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Метод Ньютона–Рафсона: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Линейная интерполяция: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оценка погрешности метода трапеций: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Эйлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.

Последовательности и ряды

Арифметическая прогрессия: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости: R = lim |c_k/c_k+1|
Многочлен Тейлора: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Матрицы и определители

определитель 2×2: det = ad − bc
Обратная матрица 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Собственные значения: det(A − λI) = 0
Правило Крамера: x_i = det(A_i)/det(A)

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Тренировочные задачи

1.Численные методыСредняя

Приблизьте ∫₀¹ √(1 + x³) dx методом трапеций с n = 3 полосами. Укажите T.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 3

T =

2.Численные методыСложная

Решите y′ = t + y, y(0) = 0,5 методом Эйлера с шагом h = 0,5 до t = 1,5. Точное решение равно y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Найдите глобальную погрешность |E| = |y(1,5) − y₃|.

y′ = t + yy(0) = 0,5h = 0,5

|E| =

3.Последовательности и рядыСредняя

Найдите радиус сходимости R степенного ряда Σ_k=1^∞ 25ᵏx²ᵏ/k.

Σ 25ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0

R =

4.Последовательности и рядыСложная

Используйте многочлен Маклорена степени 3 для f(x) = ln(1 − x), чтобы приблизить f(0,5). Укажите P₃(0,5).

f(x) = ln(1 − x)n = 3x = 0,5

P₃(0.5) =

5.Матрицы и определителиСредняя

Найдите определитель det A показанной матрицы 3×3 A.

A = [−4 −2 1; −4 −3 1; −1 −4 1]

det A =

6.Матрицы и определителиСложная

Решите систему x − 3y = 12 и −4x + 3y = −2. Найдите x.

x − 3y = 12−4x + 3y = −2

x =

7.Дифференциальные уравненияСредняя

Банку газировки температурой 5 °C достали из холодильника в комнату при 30 °C. Через 17 min температура равна 25 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.

T₀ = 5 °CT_a = 30 °CT(17) = 25 °C

k = min⁻¹

8.Дифференциальные уравненияСложная

В баке 100 L воды, в которой растворено 5 kg соли. Рассол с содержанием соли 0,1 kg на литр поступает со скоростью 5 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Сколько соли m будет в баке через 20 min?

V = 100 Lm₀ = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3Растворы

1.Численные методы

Ответ: T = 1,121

Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.

Узлы и значения

h = 0,3333

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·1,01835 + 2·1,13855 + 1,414214 = 6,728014

Метод трапеций

T = (0,3333/2)·6,728014 = 1,121

Ответ

T = 1,121

У этого интеграла нет элементарной первообразной, и именно в таких случаях нужен численный метод.

2.Численные методы

Ответ: |E| = 1,66

Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.

Шаги Эйлера

y₃ = 2,5625

Точное значение

y(1,5) = 4,222534

Глобальная погрешность

|E| = |4,222534 − 2,5625| = 1,66

График

Ответ

|E| = 1,66

Уменьшение h вдвое примерно вдвое уменьшает погрешность метода Эйлера.

3.Последовательности и ряды

Ответ: R = 0,2

Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; радикальный признак Коши: L = lim |a_k|^1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |c_k/c_k+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.

Коэффициенты

Ряд по x²: он сходится при 25·x² < 1, то есть |x| < 1/5.

Радиус

R = 0,2

Ответ

R = 0,2

В двух конечных точках признак Даламбера ничего не говорит; их нужно проверять отдельно.

4.Последовательности и ряды

Ответ: P₃(0.5) = −0,6667

Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.

Многочлен Маклорена

P₃(x) = −x − 0,5x² − 0,3333x³

Подставьте

P₃(0,5) = −0,5 − 0,125 − 0,0416667 = −0,6667

Ответ

P₃(0,5) = −0,6667

Точное значение равно f(0,5) = −0,693147; погрешность −0,0264805 уменьшается, если взять больше членов или точку ближе к 0.

5.Матрицы и определители

Ответ: det A = 3

Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.

Миноры 2×2 первой строки

M₁₁ = 1, M₁₂ = −3, M₁₃ = 13

Разложение по строке

det A = (−4)·1 − (−2)·(−3) + 1·13 = 3

Ответ

det A = 3

6.Матрицы и определители

Ответ: x = −3,333

Определитель матрицы коэффициентов

det A = 1·3 − (−3)·(−4) = −9

Замените столбец x

det Aₓ = 12·3 − (−3)·(−2) = 30

x = 30/(−9) = −3,333

Ответ

x = −3,333

y = −5,111

7.Дифференциальные уравнения

Ответ: k = 0,09467 min⁻¹

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Отношение разностей температур

e^−17k = -5/-25

Найдите k

k = ln(-25/-5)/17 = 0,09467 min⁻¹

Ответ

k = 0,09467 min⁻¹

8.Дифференциальные уравнения

Ответ: m = 8,161 kg

Составьте уравнение

dm/dt = 5·0,1 − (5/100)·m = 0,5 − 0,05·m

Решите

Интегрирующий множитель равен e^rt/V; решение стремится к равновесному значению c·V.

m(t) = 10 + (−5)·e^−t/20

Подставьте t

m(20) = 10 + (−5)·0,3679 = 8,161 kg

Ответ

m = 8,161 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods