Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.
Последовательности и ряды
Арифметическая прогрессия
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матрицы и определители
определитель 2×2
det = ad − bc
Обратная матрица 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Собственные значения
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Дифференциальные уравнения
Экспоненциальный рост/убывание
dy/dt = ky → y = y0ekt
Период полураспада
k = ln 2 / t½
Закон охлаждения Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Интегрирующий множитель
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак смешения
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Тренировочные задачи
1.Численные методыСредняя
Скорость транспортного средства измеряется каждые 5 s (таблица). Оцените пройденный путь s от t = 0 до t = 25 s методом трапеций.
h = 5 sn = 5
s = m
2.Численные методыСложная
Используйте метод Эйлера с h = 0,25 для y′ = y − t², y(0) = 3, чтобы оценить y3 ≈ y(0,75).
y′ = y − t²y(0) = 3h = 0,25
y3 =
3.Последовательности и рядыСредняя
Ровно один из четырёх рядов расходится. Нажмите на него.
Используйте многочлен Маклорена степени 2 для f(x) = cos(3x), чтобы приблизить f(0,4). Укажите P₂(0,4).
f(x) = cos(3x)n = 2x = 0,4
P₂(0.4) =
5.Матрицы и определителиСредняя
Пусть C = AB для показанных матриц. Найдите элемент c22 (строка 2, столбец 2).
A = [−5 3; −2 1]B = [−4 0; −4 5]
c22 =
6.Матрицы и определителиСложная
Решите систему −4x + 2y = 5 и −2x − 5y = 9. Найдите x.
−4x + 2y = 5−2x − 5y = 9
x =
7.Дифференциальные уравненияСредняя
Банку газировки температурой 4 °C достали из холодильника в комнату при 24 °C. Через 19 min температура равна 20 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через какое время после начала, t, температура достигнет 22 °C?
T0 = 4 °CTa = 24 °CT(19) = 20 °CT = 22 °C
t = min
8.Дифференциальные уравненияСложная
В баке 400 L чистой воды. Рассол с содержанием соли 0,1 kg на литр поступает со скоростью 20 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Через сколько минут t в баке будет 28 kg соли?
V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 20 L/min
t = min
3Растворы
1.Численные методы
Ответ: s = 290 m
Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.
Взвешенная сумма
3 + 2·8 + 2·13 + 2·13 + 2·13 + 19 = 116
Метод трапеций
s = (5/2)·116 = 290 m
Ответ
s = 290 m
2.Численные методы
Ответ: y3 = 5,777
Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.
Шаги Эйлера
y₁ = 3 + 0,25·(3) = 3,75
y₂ = 3,75 + 0,25·(3,6875) = 4,671875
y₃ = 4,671875 + 0,25·(4,421875) = 5,777344
График
y3 = 5,777
Ответ
y3 = 5,777
Точное значение равно y(0,75) = 6,1795.
3.Последовательности и ряды
Ответ: A: Σ (1 + 1/k)ᵏ
Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; радикальный признак Коши: L = lim |ak|1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σck(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |ck/ck+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.
Проверьте каждый ряд
A: Σ (1 + 1/k)ᵏ → Члены стремятся к e, а не к 0: расходится по необходимому признаку (признаку n-го члена).
B: Σ (1/3)ᵏ → Геометрический ряд с r = 1/3, |r| < 1: сходится.
C: Σ 3/k³ → p-ряд с p = 3 > 1: сходится.
D: Σ 1/(2ᵏ + k) → Меньше (1/2)ᵏ, сходящегося геометрического ряда: сходится по признаку сравнения.
Ответ
A: Σ (1 + 1/k)ᵏ
Ответ
A: Σ (1 + 1/k)ᵏ
4.Последовательности и ряды
Ответ: P₂(0.4) = 0,28
Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.
Многочлен Маклорена
P₂(x) = 1 − 4,5x²
Подставьте
P₂(0,4) = 1 − 0,72 = 0,28
Ответ
P₂(0,4) = 0,28
Точное значение равно f(0,4) = 0,362358; погрешность 0,0823578 уменьшается, если взять больше членов или точку ближе к 0.
5.Матрицы и определители
Ответ: c22 = 5
Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.
Строка на столбец
c22 = (−2)·0 + 1·5 = 5
Ответ
c22 = 5
6.Матрицы и определители
Ответ: x = −1,792
Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.
Определитель матрицы коэффициентов
det A = (−4)·(−5) − 2·(−2) = 24
Замените столбец x
det Aₓ = 5·(−5) − 2·9 = −43
x = −43/24 = −1,792
Ответ
x = −1,792
y = −1,083
7.Дифференциальные уравнения
Ответ: t = 27,18 min
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.
Константа охлаждения
k = ln(-20/-4)/19 = 0,08471 min⁻¹
Время достижения целевой температуры
t = ln(-20/(−2))/0,08471 = 27,18 min
Ответ
t = 27,18 min
8.Дифференциальные уравнения
Ответ: t = 24,08 min
Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·ekt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.