Для корня: проверьте смену знака для бисекции или вычислите f и f′ для метода Ньютона и сохраняйте шесть и более цифр в таблице итераций.
Для значения из таблицы: интерполируйте линейно между двумя соседними точками.
Для интеграла: найдите h = (b − a)/n, выпишите f в каждом узле, примените веса (1, 2, …, 2, 1 для трапеций; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Симпсона при чётном n) и умножьте на h/2 или h/3.
Для ОДУ: идите от t₀ по формуле yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Эйлер) или по усреднённому наклону (Хойн), по одной строке на шаг, пока не дойдёте до нужного t.
Последовательности и ряды
Арифметическая прогрессия
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матрицы и определители
определитель 2×2
det = ad − bc
Обратная матрица 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Собственные значения
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Дифференциальные уравнения
Экспоненциальный рост/убывание
dy/dt = ky → y = y0ekt
Период полураспада
k = ln 2 / t½
Закон охлаждения Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Интегрирующий множитель
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак смешения
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Тренировочные задачи
1.Численные методыСредняя
Приблизьте ∫01,5 sin(x²) dx методом трапеций с n = 4 полосами. Укажите T.
f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1,5]n = 4
T =
2.Численные методыСложная
Используйте метод Эйлера с h = 0,1 для y′ = y − t², y(0) = 1, чтобы оценить y3 ≈ y(0,3).
y′ = y − t²y(0) = 1h = 0,1
y3 =
3.Последовательности и рядыСредняя
Найдите радиус сходимости R степенного ряда Σk=1∞ k·4ᵏ·(x + 1)ᵏ.
Σ k·4ᵏ·(x + 1)ᵏx₀ = −1
R =
4.Последовательности и рядыСложная
Функция f(x) = cos x приближается в точке x = 1 её многочленом Маклорена степени n. С оценкой Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! и M = 1 найдите наименьшую степень n, гарантирующую погрешность меньше 1 × 10⁻⁶.
f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.Матрицы и определителиСредняя
Пусть C = AB для показанных матриц. Найдите элемент c22 (строка 2, столбец 2).
A = [−4 6; −6 3]B = [5 −5; 4 4]
c22 =
6.Матрицы и определителиСложная
Решите систему 2x − 2y = −10 и 4x − 6y = 10. Найдите x.
2x − 2y = −104x − 6y = 10
x =
7.Дифференциальные уравненияСредняя
Решите y″ + 2y′ + y = 0 при y(0) = 5 и y′(0) = 0. Найдите y(1,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
8.Дифференциальные уравненияСложная
Решите y″ + 4y′ + 13y = 0 при y(0) = 5 и y′(0) = 0 (отпущено из состояния покоя). Найдите y(0,25); углы в радианах.
y″ + 4y′ + 13y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(0.25) =
3Растворы
1.Численные методы
Ответ: T = 0,7561
Численное интегрирование: разделите [a, b] на n полос шириной h = (b − a)/n с узлами x₀ … xₙ. Метод трапеций: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Метод Симпсона (n чётное): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Погрешность метода трапеций убывает как h² (оценка (b − a)h²·M/12, где M = max|f″|), метода Симпсона — как h⁴, поэтому при тех же узлах метод Симпсона обычно намного точнее.
У этого интеграла нет элементарной первообразной, и именно в таких случаях нужен численный метод.
2.Численные методы
Ответ: y3 = 1,326
Численное решение y′ = f(t, y): метод Эйлера идёт по наклону в начале каждого шага: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (улучшенный метод Эйлера) усредняет наклон в начале и в точке, предсказанной методом Эйлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Классический метод Рунге–Кутты (RK4) объединяет четыре наклона: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальная погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Хойна — h², метода RK4 — h⁴.
Шаги Эйлера
y₁ = 1 + 0,1·(1) = 1,1
y₂ = 1,1 + 0,1·(1,09) = 1,209
y₃ = 1,209 + 0,1·(1,169) = 1,3259
График
y3 = 1,326
Ответ
y3 = 1,326
Точное значение равно y(0,3) = 1,340141.
3.Последовательности и ряды
Ответ: R = 0,25
Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; радикальный признак Коши: L = lim |ak|1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σck(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |ck/ck+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.
Коэффициенты
ck/ck+1 = (1/4)·(k/(k + 1)) → 1/4
Радиус
R = 0,25
Ответ
R = 0,25
В двух конечных точках признак Даламбера ничего не говорит; их нужно проверять отдельно.
4.Последовательности и ряды
Ответ: n = 9
Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.
Оценки при возрастающем n
n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶
Наименьшая степень
n = 9
Ответ
n = 9
5.Матрицы и определители
Ответ: c22 = 42
Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.
Строка на столбец
c22 = (−6)·(−5) + 3·4 = 42
Ответ
c22 = 42
6.Матрицы и определители
Ответ: x = −20
Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.
Определитель матрицы коэффициентов
det A = 2·(−6) − (−2)·4 = −4
Замените столбец x
det Aₓ = (−10)·(−6) − (−2)·10 = 80
x = 80/(−4) = −20
Ответ
x = −20
y = −15
7.Дифференциальные уравнения
Ответ: y(1.5) = 2,789
Линейные уравнения второго порядка: для y″ + b·y′ + c·y = 0 ищите решение в виде y = ert: это даёт характеристическое уравнение r² + b·r + c = 0. Два различных вещественных корня r₁ ≠ r₂ дают y = A·er₁t + B·er₂t (апериодический режим, передемпфированный); двойной корень r даёт y = (A + Bt)·ert (критическое затухание); комплексные корни −α ± jω дают y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (колебательный режим, недодемпфированный). Начальные значения y(0) и y′(0) определяют A и B. В записи y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — собственная частота, а ζ — коэффициент демпфирования: при ζ < 1 возникают колебания. При постоянном входе y″ + by′ + cy = c·K решение равно установившемуся значению K плюс свободный отклик.
Двойной корень
(r + 1)² = 0 → r = −1
Константы
A = y(0) = 5
y′(0) = B − 1A → B = 0 + 5 = 5
Вычислите
y(1,5) = (5 + 5·1,5)·e−1,5 = 2,789
Ответ
y(1,5) = 2,789
8.Дифференциальные уравнения
Ответ: y(0.25) = 3,597
Линейные уравнения второго порядка: для y″ + b·y′ + c·y = 0 ищите решение в виде y = ert: это даёт характеристическое уравнение r² + b·r + c = 0. Два различных вещественных корня r₁ ≠ r₂ дают y = A·er₁t + B·er₂t (апериодический режим, передемпфированный); двойной корень r даёт y = (A + Bt)·ert (критическое затухание); комплексные корни −α ± jω дают y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (колебательный режим, недодемпфированный). Начальные значения y(0) и y′(0) определяют A и B. В записи y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — собственная частота, а ζ — коэффициент демпфирования: при ζ < 1 возникают колебания. При постоянном входе y″ + by′ + cy = c·K решение равно установившемуся значению K плюс свободный отклик.