Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 60 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,8 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 60 km/ht_r = 0,8 sa = −5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 20 m/s², направленное вверх, в течение 2,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 20 m/s²t₁ = 2,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 30 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 25° к горизонту с силой 130 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 30 kgF = 130 Nθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 14 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с вершины скалы высотой 40 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 26 m/sθ = 45°h = 40 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 35 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 35 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1,3 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1,3 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 10 kg скользит 4 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 10 kgθ = 30°μ = 0,35d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,2). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 2 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 0,5 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgμ = 0,2d = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 2,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 21 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 2,5 kgh = 21 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,6 kg ударяется о стену со скоростью 23 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 9 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,6 kgv_in = 23 m/sv_out = 9 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,6 kg на пружине с k = 390 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 10 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 3 cm от положения равновесия.

m = 3,6 kgk = 390 N/mA = 10 cmx = 3 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 10 g, летящая со скоростью 250 m/s, попадает в брусок массой 4 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 800 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 10 gv = 250 m/sM = 4 kgk = 800 N/m

A = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 4 cm находится в 60 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 20 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 4 cmd_o = 60 cmf = 20 cm

h_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 450 nm падает на две щели на расстоянии 0,3 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 1,2 m. Найдите расстояние y₂ от центральной светлой полосы до светлой полосы номер 2.

λ = 450 nmd = 0,3 mmL = 1,2 mm = 2

y₂ = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 41,11 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 16,67·0,8 = 13,33 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·5) = 27,78 m

Итого

d = 13,33 + 27,78 = 41,11 m

Ответ

d = 41,11 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 189,9 m

Активный участок

v₁ = 20·2,5 = 50 m/s

h₁ = ½·20·2,5² = 62,5 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 50²/(2·9,81) = 127,4 m

h_max = 62,5 + 127,4 = 189,9 m

Ответ

h_max = 189,9 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,332 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 294,3 − 130·sin 25° = 239,4 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 117,8 − 47,87

a = 69,95/30 = 2,332 m/s²

Ответ

a = 2,332 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,471 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 6,867)/6,5 = 3,471 m/s²

Ответ

a = 3,471 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 1,169 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 20° = 13,16 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 20° = 4,788 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 4,788²/(2·9,81) = 1,169 m

Ответ

H = 1,169 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 97,25 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 45° = 18,38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 45° = 18,38 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 40 + 18,38·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18,38 + √(338 + 784,8))/9,81 = 5,29 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 18,38·5,29 = 97,25 m

Ответ

x = 97,25 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 14,35 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·35) = 14,35 m/s

Ответ

v_max = 14,35 m/s (51,67 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,571 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,3) = 3,571 m/s

Ответ

v_min = 3,571 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 118,9 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 98,1·0,866 = 84,96 N

F = μN = 0,35·84,96 = 29,73 N

Работа против трения

W_f = F·d = 29,73·4 = 118,9 J

Ответ

W_f = 118,9 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 1,184 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 19,62·0,5 = 9,81 J

μ·m₁g·d = 0,2·49,05·0,5 = 4,905 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 4,905 → v = √(2·4,905/7) = 1,184 m/s

Ответ

v = 1,184 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 1017 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,21) = 2,03 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 2,5)·2,03/0,005 = 1017 m/s

Ответ

v = 1017 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 1920 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,6·(9 + 23) = 19,2 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 19,2/0,01 = 1920 N

Ответ

F_avg = 1920 N

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,9929 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(390/3,6) = 10,41 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 10,41·√(0,1² − 0,03²) = 0,9929 m/s

Ответ

v = 0,9929 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 4,414 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,01·250/4,01 = 0,6234 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(800/4,01) = 14,12 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 0,6234/14,12 = 0,04414 m = 4,414 cm

Ответ

A = 4,414 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = −2 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/60

d_i = 30 cm

Увеличение и высота

m = −30/60 = −0,5

h_i = −0,5·4 = −2 cm

Ответ

h_i = −2 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: y₂ = 3,6 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·1,2/(0,3 × 10⁻³) = 1,8 mm

Полоса номер 2

y₂ = 2·1,8 = 3,6 mm

Ответ

y₂ = 3,6 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics