Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 54 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,6 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 54 km/ht_r = 0,6 sa = −7,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 2,4 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 2,4 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 40 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 40 kgθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 30° со скоростью 3,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 3,5 m/sθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 30 m/s под углом 55° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 17 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 30 m/sθ = 55°x = 17 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с вершины скалы высотой 35 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 31 m/sθ = 25°h = 35 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 0,4 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 25° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 0,4 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,9 kg на нити длиной 0,8 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 4,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,9 kgr = 0,8 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 120 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,5. Найдите тормозной путь d.

v = 120 km/hμ = 0,5g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 20 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 15° и тянется вверх по ней постоянной силой 200 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 3 m вверх по плоскости.

m = 20 kgF = 200 Nθ = 15°μ = 0,25d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4 kg, движущаяся со скоростью 6 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 4 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 25 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 20 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,5 kgv_in = 25 m/sv_out = 20 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,8 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,6 kg на пружине с k = 460 N/m оттягивают на 3 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 2,6 kgk = 460 N/mA = 3 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца должна иметь следующий режим на частоте 1072 Hz: гармоника номер 5. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 5f₅ = 1072 Hz

L = m

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный датчик посылает ультразвук 25 kHz на автомобиль, удаляющийся со скоростью 10 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений f_b (скорость звука 343 m/s).

f = 25 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 24 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 15·0,6 = 9 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·7,5) = 15 m

Итого

d = 9 + 15 = 24 m

Ответ

d = 24 m

2.Кинематика

Ответ: d = 26,47 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(2,4 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 823,2 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·823,2))/(2·4,905) = 2,323 s

Глубина

d = ½·9,81·2,323² = 26,47 m

Ответ

d = 26,47 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 208 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 134,2 + 73,75 = 208 N

Ответ

F = 208 N

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 0,9274 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 30° + 0,2·cos 30°) = 6,604 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 3,5²/(2·6,604) = 0,9274 m

Ответ

d = 0,9274 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 19,49 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 30·cos 55° = 17,21 m/s

t = x/v_x = 17/17,21 = 0,988 s

Высота в этот момент

y = 24,57·0,988 − ½·9,81·0,988² = 19,49 m

Ответ

y = 19,49 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 121,4 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 25° = 28,1 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 25° = 13,1 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 35 + 13,1·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13,1 + √(171,6 + 686,7))/9,81 = 4,322 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 28,1·4,322 = 121,4 m

Ответ

x = 121,4 m

7.Движение по окружности

Ответ: v = 0,8794 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 0,4·sin 25° = 0,169 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,169·9,81·tan 25°) = 0,8794 m/s

Ответ

v = 0,8794 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 66,73 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,9·9,81 + 1,9·4,5²/0,8 = 18,64 + 48,09 = 66,73 N

Ответ

T = 66,73 N

9.Работа и энергия

Ответ: d = 113,3 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 120/3,6 = 33,33 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33,33²/(2·0,5·9,81) = 113,3 m

Ответ

d = 113,3 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,527 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 20·9,81 = 196,2 N

mg·sin θ = 50,78 N

μ·mg·cos θ = 47,38 N

Работа и энергия

½mv² = (200 − 98,16)·3 = 305,5 J

v = √(2·305,5/20) = 5,527 m/s

Ответ

v = 5,527 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 5,647 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4 − 4,5)/(4 + 4,5)·6 = −0,3529 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 4,5)·6 = 5,647 m/s

Ответ

v′₂ = 5,647 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 22,5 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(20 + 25) = 22,5 N·s

Ответ

J = 22,5 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,8051 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,8/2π)² = 0,8051 m

Ответ

L = 0,8051 m

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 5,308 m/s²

Угловая частота

ω = √(460/2,6) = 13,3 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,03·13,3² = 5,308 m/s²

Ответ

a_max = 5,308 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,4 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/1072 = 0,32 m

Длина

L = nλ/4 = 5·0,32/4 = 0,4 m

Ответ

L = 0,4 m

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f_b = 1416 Hz

Частота у автомобиля

f′ = 25000·(343 − 10)/343 = 24271 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 + 10) = 23584 Hz

Частота биений

f_b = |f″ − f| = 1416 Hz

Ответ

f_b = 1416 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics