Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 54 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 54 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 28 m/s², направленное вверх, в течение 2,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Через сколько времени после старта она упадёт на землю? Найдите t.

a = 28 m/s²t₁ = 2,5 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 17 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 17 kgθ = 45°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 2,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 30° к горизонту, и он падает на расстоянии 50 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 30°R = 50 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с вершины скалы высотой 55 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 11 m/sθ = 40°h = 55 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 1500 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 16 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 50 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 1500 kgv = 16 m/sr = 50 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,7 kg на нити длиной 0,7 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,7 kgr = 0,7 mv = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 1 kg скользит 11 m по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,4. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 1 kgθ = 40°μ = 0,4d = 11 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 5 kgh = 1,5 mL = 1 mμ = 0,25k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 1 kg, движущаяся со скоростью 4 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,3 kg ударяется о стену со скоростью 30 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 4 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,3 kgv_in = 30 m/sv_out = 4 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,1 kg на пружине с k = 240 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 9 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 5 cm от положения равновесия.

m = 3,1 kgk = 240 N/mA = 9 cmx = 5 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 430 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 19 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 17 cm от положения равновесия.

k = 430 N/mA = 19 cmx = 17 cm

U = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 50 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 12 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 50 cmf = −12 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 8 cm перед выпуклым зеркалом с радиусом кривизны 20 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 8 cmR = 20 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 17,31 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·6,5) = 17,31 m

Ответ

s = 17,31 m

2.Кинематика

Ответ: t = 17,93 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активный участок

v₁ = 28·2,5 = 70 m/s

h₁ = ½·28·2,5² = 87,5 m

Свободный полёт до земли

Решите −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² и возьмите положительный корень.

t₂ = (70 + √(70² + 2·9,81·87,5))/9,81 = 15,43 s

t = 2,5 + 15,43 = 17,93 s

Ответ

t = 17,93 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,549 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 45° − 0,2·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1414) = 5,549 m/s²

Ответ

a = 5,549 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 21,92 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 7,357)/8 = 5,825 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2,5·5,825 + 7,357 = 21,92 N

Ответ

T = 21,92 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 23,8 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·50/sin 60°) = 23,8 m/s

Ответ

v₀ = 23,8 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 34,94 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 40° = 8,426 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 40° = 7,071 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 55 + 7,071·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7,071 + √(49,99 + 1079))/9,81 = 4,146 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 8,426·4,146 = 34,94 m

Ответ

x = 34,94 m

7.Движение по окружности

Ответ: N = 7035 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 1500·9,81 − 1500·16²/50 = 14715 − 7680 = 7035 N

Ответ

N = 7035 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: T = 192,1 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,7·9,81 + 1,7·8,5²/0,7 = 16,68 + 175,5 = 192,1 N

Ответ

T = 192,1 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 33,07 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 9,81·0,766 = 7,515 N

F = μN = 0,4·7,515 = 3,006 N

Работа против трения

W_f = F·d = 3,006·11 = 33,07 J

Ответ

W_f = 33,07 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 49,52 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(1,5 − 0,25·1) = 61,31 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 61,31 → x = √(2·61,31/500) = 0,4952 m = 49,52 cm

Ответ

x = 49,52 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 2 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (1 − 3)/(1 + 3)·4 = −2 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 3)·4 = 2 m/s

Ответ

v′₂ = 2 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 10,2 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,3·(4 + 30) = 10,2 N·s

Ответ

J = 10,2 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,6584 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(240/3,1) = 8,799 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 8,799·√(0,09² − 0,05²) = 0,6584 m/s

Ответ

v = 0,6584 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: U = 6,214 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·430·0,19² = 7,762 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·430·0,17² = 6,214 J

Ответ

U = 6,214 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = 0,1935

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−12) − 1/50

d_i = −9,677 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −(−9,677)/50 = 0,1935

Ответ

m = 0,1935

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −4,444 cm

Фокусное расстояние

f = −R/2 = −10 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/8

d_i = −4,444 cm

Ход лучей

мнимое изображение за зеркалом

Ответ

d_i = −4,444 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics