Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 72 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 45 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 19 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 45 mv_0B = 19 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 35 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 30° к горизонту с силой 160 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 35 kgF = 160 Nθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 6 kgm₂ = 3 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 30 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 34 m/s под углом 70° к горизонту с вершины обрыва высотой 25 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 34 m/sθ = 70°h = 25 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 0,3 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 15° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 0,3 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1,3 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1,3 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 10 m вдоль плоскости.

θ = 45°μ = 0,3d = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 1000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 10 kgh = 2,5 mL = 3,5 mμ = 0,2k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 15 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 2 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 17 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 15 gM = 2 kgh = 17 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,4 kg ударяется о стену со скоростью 27 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 14 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,4 kgv_in = 27 m/sv_out = 14 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,9 kg на пружине с k = 170 N/m оттягивают на 14 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 1,45 s (со знаком).

m = 3,9 kgk = 170 N/mA = 14 cmt = 1,45 s

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 1 s и амплитудой 14 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 14 cm в точку со смещением 8,4 cm?

T = 1 sA = 14 cmx = 8,4 cm

t = s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 3 cm находится в 8 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 15 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 3 cmd_o = 8 cmf = −15 cm

h_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 25 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 10 cm и линза 2 с f₂ = −10 cm. Предмет находится в 40 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 10 cmf₂ = −10 cms = 25 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 3,333 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/6 = 3,333 s

Ответ

t = 3,333 s

2.Кинематика

Ответ: y = 17,49 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

45 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 45/19 = 2,368 s

Высота встречи

y = 19·2,368 − ½·9,81·2,368² = 17,49 m

Ответ

y = 17,49 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,078 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 343,4 − 160·sin 30° = 263,4 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 138,6 − 65,84

a = 72,73/35 = 2,078 m/s²

Ответ

a = 2,078 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 21,58 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 5,886)/9 = 2,616 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·2,616 + 5,886 = 21,58 N

Ответ

T = 21,58 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,508 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 35° = 24,57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 35° = 17,21 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·17,21/9,81 = 3,508 s

Ответ

t = 3,508 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 77,03 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 34·sin 70° = 31,95 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 31,95²/(2·9,81) = 52,03 m

Высота над землёй

H = 25 + 52,03 = 77,03 m

Ответ

H = 77,03 m

7.Движение по окружности

Ответ: v = 0,4518 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 0,3·sin 15° = 0,07765 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,07765·9,81·tan 15°) = 0,4518 m/s

Ответ

v = 0,4518 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,571 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,3) = 3,571 m/s

Ответ

v_min = 3,571 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: v = 9,855 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·10·(0,7071 − 0,3·0,7071)) = 9,855 m/s

Ответ

v = 9,855 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 59,43 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(2,5 − 0,2·3,5) = 176,6 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 176,6 → x = √(2·176,6/1000) = 0,5943 m = 59,43 cm

Ответ

x = 59,43 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 245,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,17) = 1,826 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 2)·1,826/0,015 = 245,3 m/s

Ответ

v = 245,3 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 16,4 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,4·(14 + 27) = 16,4 N·s

Ответ

J = 16,4 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,1367 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(170/3,9) = 6,602 rad/s

ω·t = 6,602·1,45 = 9,573 rad

Скорость

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,14·6,602·sin(9,573) = 0,1367 m/s

Ответ

v = 0,1367 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,1476 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/1 = 6,283 rad/s

Выразите время

0,6 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,6) = 0,9273 rad

t = 0,9273/6,283 = 0,1476 s

Ответ

t = 0,1476 s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = 1,957 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/8

d_i = −5,217 cm

Увеличение и высота

m = −(−5,217)/8 = 0,6522

h_i = 0,6522·3 = 1,957 cm

Ответ

h_i = 1,957 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = −5,385 cm

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/10 − 1/40 → d_i1 = 13,33 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 25 − 13,33 = 11,67 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/(−10) − 1/11,67 → d_i2 = −5,385 cm

Ответ

d_i2 = −5,385 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics