Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 45 km/h, тормозит с постоянным замедлением 5,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 45 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 20 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 30 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 20 mv_0B = 30 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 15 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 40° к горизонту с силой 90 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 15 kgF = 90 Nθ = 40°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 32 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 31 m/s под углом 55° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 21 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 31 m/sθ = 55°h_roof = 21 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 2 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 30° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 2 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1,4 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1,4 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2 kg скользит 18 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2 kgθ = 30°μ = 0,15d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 1500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 1 kgh = 3,5 mL = 3,5 mμ = 0,1k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 19 kg, движущийся горизонтально со скоростью 8 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 10 kg продолжает движение вперёд со скоростью 20 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 9 kg (положительна в исходном направлении).

M = 19 kgu = 8 m/sm₁ = 10 kgv′₁ = 20 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,35 kg ударяется о стену со скоростью 29 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 6 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,35 kgv_in = 29 m/sv_out = 6 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,8 kg на пружине с k = 490 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 6 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 5 cm от положения равновесия.

m = 1,8 kgk = 490 N/mA = 6 cmx = 5 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 330 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 9 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 5 cm от положения равновесия.

k = 330 N/mA = 9 cmx = 5 cm

K = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 3 cm находится в 4 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 12 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 3 cmd_o = 4 cmf = −12 cm

h_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 633 nm падает на две щели на расстоянии 0,1 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 3 m. Найдите расстояние Δy между соседними светлыми полосами.

λ = 633 nmd = 0,1 mmL = 3 m

Δy = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 14,2 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·5,5) = 14,2 m

Ответ

s = 14,2 m

2.Кинематика

Ответ: t = 0,6667 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

20 − ½g·t² = 30·t − ½g·t² → t = 20/30 = 0,6667 s

Ответ

t = 0,6667 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,81 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 90·sin 40° = 89,3 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 68,94 − 26,79

a = 42,15/15 = 2,81 m/s²

Ответ

a = 2,81 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 13,8 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 3,679)/6 = 6,744 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1,5·6,744 + 3,679 = 13,8 N

Ответ

T = 13,8 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 13,05 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 30° = 27,71 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 30° = 16 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 16²/(2·9,81) = 13,05 m

Ответ

H = 13,05 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 73,68 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 17,78 m/s, v_y = 25,39 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

21 = 25,39·t − 4,905·t²

t = (25,39 + √(25,39² − 2·9,81·21))/9,81 = 4,144 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 17,78·4,144 = 73,68 m

Ответ

x = 73,68 m

7.Движение по окружности

Ответ: T = 2,64 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 2·sin 30° = 1 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1·9,81·tan 30°) = 2,38 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·1/2,38 = 2,64 s

Ответ

T = 2,64 s

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,706 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,4) = 3,706 m/s

Ответ

v_min = 3,706 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 45,88 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 19,62·0,866 = 16,99 N

F = μN = 0,15·16,99 = 2,549 N

Работа против трения

W_f = F·d = 2,549·18 = 45,88 J

Ответ

W_f = 45,88 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 20,3 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(3,5 − 0,1·3,5) = 30,9 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 30,9 → x = √(2·30,9/1500) = 0,203 m = 20,3 cm

Ответ

x = 20,3 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −5,333 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 19·8 = 152 kg·m/s

Импульс после удара

152 = 10·20 + 9·v′₂

v′₂ = (152 − 200)/9 = −5,333 m/s

Ответ

v′₂ = −5,333 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 1225 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,35·(6 + 29) = 12,25 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 12,25/0,01 = 1225 N

Ответ

F_avg = 1225 N

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,5472 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(490/1,8) = 16,5 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 16,5·√(0,06² − 0,05²) = 0,5472 m/s

Ответ

v = 0,5472 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: K = 0,924 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·330·0,09² = 1,337 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·330·0,05² = 0,4125 J

Кинетическая энергия

K = 1,337 − 0,4125 = 0,924 J

Ответ

K = 0,924 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = 2,25 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−12) − 1/4

d_i = −3 cm

Увеличение и высота

m = −(−3)/4 = 0,75

h_i = 0,75·3 = 2,25 cm

Ответ

h_i = 2,25 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: Δy = 18,99 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·3/(0,1 × 10⁻³) = 18,99 mm

Ответ

Δy = 18,99 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics