Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 120 km/ha = −7 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2,5 m/s² в течение 4 s, затем движется с постоянной скоростью 20 s и, наконец, тормозит с замедлением 3,5 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 20 sa₃ = −3,5 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 30 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 35° к горизонту с силой 90 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 30 kgF = 90 Nθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 75 N тянет передний брусок массой 12 kg; брусок массой 10 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a брусков.

m₁ = 10 kgm₂ = 12 kgF = 75 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 12 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 15° к горизонту с вершины скалы высотой 5 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 24 m/sθ = 15°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 115 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 115 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1,4 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1,4 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 10 kg скользит 13 m по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,1. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 10 kgθ = 40°μ = 0,1d = 13 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 1 kgh = 1,5 mL = 3 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 12 kg, движущийся горизонтально со скоростью 5 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 6 kg продолжает движение вперёд со скоростью 18 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 6 kg (положительна в исходном направлении).

M = 12 kgu = 5 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 18 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,6 kg ударяется о стену со скоростью 25 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 10 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,6 kgv_in = 25 m/sv_out = 10 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3 kg на пружине с k = 120 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 20 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 17 cm от положения равновесия.

m = 3 kgk = 120 N/mA = 20 cmx = 17 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,9 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 430 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 2,9 kgk = 430 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 6 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 8 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 6 cmf = 8 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,46 и оболочка с n₂ = 1,43. Найдите наибольший угол θ_a к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n₁ = 1,46n₂ = 1,43n₀ = 1,00

θ_a = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 4,762 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33,33/7 = 4,762 s

Ответ

t = 4,762 s

2.Кинематика

Ответ: s = 234,3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2,5·4 = 10 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2,5·4² = 20 m

s₂ = 10·20 = 200 m

s₃ = 10²/(2·3,5) = 14,29 m

Полный путь

s = 20 + 200 + 14,29 = 234,3 m

Ответ

s = 234,3 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,8396 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 294,3 − 90·sin 35° = 242,7 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 73,72 − 48,54

a = 25,19/30 = 0,8396 m/s²

Ответ

a = 0,8396 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,447 m/s²

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (75 − 43,16)/22 = 1,447 m/s²

Ответ

a = 1,447 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 4,925 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 55° = 6,883 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 55° = 9,83 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 9,83²/(2·9,81) = 4,925 m

Ответ

H = 4,925 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 42,31 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 15° = 23,18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 15° = 6,212 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 5 + 6,212·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,212 + √(38,58 + 98,1))/9,81 = 1,825 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 23,18·1,825 = 42,31 m

Ответ

x = 42,31 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 18,4 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·115) = 18,4 m/s

Ответ

v_max = 18,4 m/s (66,23 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,706 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,4) = 3,706 m/s

Ответ

v_min = 3,706 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 97,69 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 98,1·0,766 = 75,15 N

F = μN = 0,1·75,15 = 7,515 N

Работа против трения

W_f = F·d = 7,515·13 = 97,69 J

Ответ

W_f = 97,69 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 3,431 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(1,5 − 0,3·3) = 5,886 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,6) = 3,431 m/s

Ответ

v = 3,431 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 12·5 = 60 kg·m/s

Импульс после удара

60 = 6·18 + 6·v′₂

v′₂ = (60 − 108)/6 = −8 m/s

Ответ

v′₂ = −8 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 21 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,6·(10 + 25) = 21 N·s

Ответ

J = 21 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,6663 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(120/3) = 6,325 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 6,325·√(0,2² − 0,17²) = 0,6663 m/s

Ответ

v = 0,6663 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,8056 m/s

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 2,9·9,81/430 = 0,06616 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(430/2,9) = 12,18 rad/s

v_max = A·ω = 0,06616·12,18 = 0,8056 m/s

Ответ

v_max = 0,8056 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = 4

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/6

d_i = −24 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −(−24)/6 = 4

Ответ

m = 4

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_a = 17,12 °

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,43/1,46 = 0,9795 → θc = 78,36°

Числовая апертура

NA = √(1,46² − 1,43²) = 0,2944

Угол приёма

θ_a = arcsin(0,2944) = 17,12°

Ответ

θ_a = 17,12°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics