Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 1,75 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 900 m.

v₀ = 0a = 1,75 m/s²s = 900 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 10 m/s с края крыши на высоте 25 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 10 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 35 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 30° к горизонту с силой 100 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 35 kgF = 100 Nθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 85 N тянет передний брусок массой 7 kg; брусок массой 2 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 2 kgm₂ = 7 kgF = 85 Nμ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 38 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 21 m/s под углом 65° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 7 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 21 m/sθ = 65°h_roof = 7 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 1,6 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 1,6 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 25,35 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 6,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_bottom трассы на тележку в нижней точке петли.

m = 2 kgh = 25,35 mR = 6,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 5 kg висит на лёгкой нити длиной 1,5 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 40° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 5 kgL = 1,5 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 3000 N/m у основания наклонной плоскости 15° сжимают на 10 cm бруском массой 1 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 1 kgk = 3000 N/mx = 10 cmθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 12 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 6 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 12 gM = 5 kgh = 6 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,55 kg ударяется о стену со скоростью 10 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 19 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,55 kgv_in = 10 m/sv_out = 19 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,8 kg на пружине с k = 310 N/m оттягивают на 10 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 1,25 s (со знаком).

m = 0,8 kgk = 310 N/mA = 10 cmt = 1,25 s

x = cm

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,5 kg на пружине с k = 40 N/m оттягивают на 14 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 0,5 kgk = 40 N/mA = 14 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «этанол» (n = 1,36) к плоской границе со средой «воздух» (n = 1,00). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 1,36n₂ = 1,00

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 10 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 20 cm и линза 2 с f₂ = −20 cm. Предмет находится в 40 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 20 cmf₂ = −20 cms = 10 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 56,12 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·1,75·900) = 56,12 m/s

Ответ

v = 56,12 m/s

(202 km/h)

2.Кинематика

Ответ: h_max = 30,1 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9,81) = 5,097 m

Высота над землёй

h_max = 25 + 5,097 = 30,1 m

Ответ

h_max = 30,1 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,379 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 343,4 − 100·sin 30° = 293,4 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 86,6 − 73,34

a = 13,27/35 = 0,379 m/s²

Ответ

a = 0,379 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 18,89 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (85 − 13,24)/9 = 7,973 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 2·(7,973 + 1,472) = 18,89 N

Ответ

T = 18,89 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 6,709 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 60° = 19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 60° = 32,91 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·32,91/9,81 = 6,709 s

Ответ

t = 6,709 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 30,79 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 8,875 m/s, v_y = 19,03 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

7 = 19,03·t − 4,905·t²

t = (19,03 + √(19,03² − 2·9,81·7))/9,81 = 3,469 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 8,875·3,469 = 30,79 m

Ответ

x = 30,79 m

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 3,197 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·1,6)) = 3,197 rad/s

Ответ

ω = 3,197 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: N_bottom = 172,7 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·25,35 = 497,4 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R + m·g = 2·497,4/6,5 + 19,62 = 172,7 N

Ответ

N_bottom = 172,7 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 72 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·1,5·(1 − cos 40°) = 6,885 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

T = mg + mv²/L = 49,05 + 5·6,885/1,5 = 72 N

Ответ

T = 72 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 72 N.

10.Работа и энергия

Ответ: d = 3,383 m

Энергия пружины

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·3000·0,1² = 15 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 15/(9,81·(0,2588 + 0,2·0,9659)) = 3,383 m

Ответ

d = 3,383 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 453,2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,06) = 1,085 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 5)·1,085/0,012 = 453,2 m/s

Ответ

v = 453,2 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 15,95 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,55·(19 + 10) = 15,95 N·s

Ответ

J = 15,95 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: x = 8,646 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(310/0,8) = 19,69 rad/s

ω·t = 19,69·1,25 = 24,61 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 10·cos(24,61) = 8,646 cm

Ответ

x = 8,646 cm

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,252 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(40/0,5) = 8,944 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,14·8,944 = 1,252 m/s

Ответ

v_max = 1,252 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 47,33 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/1,36 = 0,7353

Критический угол

θc = arcsin(0,7353) = 47,33°

Ответ

θ_c = 47,33°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = −60 cm

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/20 − 1/40 → d_i1 = 40 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 10 − 40 = −30 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/(−30) → d_i2 = −60 cm

Ответ

d_i2 = −60 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics