Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 27 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,5 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.

v_car = 27 m/sa_police = 3,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 9 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 9 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 4 kg и 1 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 3 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 40 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 17 m/s под углом 50° к горизонту с вершины обрыва высотой 40 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 17 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 35 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 35 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Небольшую тележку отпускают без начальной скорости на трассе без трения, и она въезжает в вертикальную петлю радиусом 6,5 m. С какой наименьшей высоты h_min над нижней точкой петли она должна стартовать, чтобы удержаться на трассе в верхней точке петли?

R = 6,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 5 kg висит на лёгкой нити длиной 0,8 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 70° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 5 kgL = 0,8 mθ = 70°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 30° и тянется вверх по ней постоянной силой 100 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 4 m вверх по плоскости.

m = 10 kgF = 100 Nθ = 30°μ = 0,15d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4 kg, движущаяся со скоростью 3 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 4 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 2000 kg, едущий на восток со скоростью 18 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1000 kg, едущим на север со скоростью 20 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 2000 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 20 m/s (N)

θ = °

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,7 kg на пружине с k = 110 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 13 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 2 cm от положения равновесия.

m = 2,7 kgk = 110 N/mA = 13 cmx = 2 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 4 kg на пружине с k = 120 N/m оттягивают на 6 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 4 kgk = 120 N/mA = 6 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 18 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 8 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 18 cmf = 8 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 6 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 30 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 6 cmR = 30 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 416,6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·27/3,5 = 15,43 s

Путь

d = v·t = 27·15,43 = 416,6 m

Ответ

d = 416,6 m

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 54 m/s.

2.Кинематика

Ответ: h_max = 24,13 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 9²/(2·9,81) = 4,128 m

Высота над землёй

h_max = 20 + 4,128 = 24,13 m

Ответ

h_max = 24,13 m

3.Законы Ньютона

Ответ: T = 15,7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (4 − 1)·9,81/(4 + 1) = 5,886 m/s²

Натяжение по лёгкому грузу

T − m₂·g = m₂·a → T = 1·(9,81 + 5,886) = 15,7 N

Ответ

T = 15,7 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,655 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 5,886)/8,5 = 5,655 m/s²

Ответ

a = 5,655 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 6,68 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 55° = 22,94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 55° = 32,77 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·32,77/9,81 = 6,68 s

Ответ

t = 6,68 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 48,64 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 17·sin 50° = 13,02 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 13,02²/(2·9,81) = 8,644 m

Высота над землёй

H = 40 + 8,644 = 48,64 m

Ответ

H = 48,64 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 11,72 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·35) = 11,72 m/s

Ответ

v_max = 11,72 m/s (42,19 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: h_min = 16,25 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Условие в верхней точке

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон сохранения энергии

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·6,5 = 16,25 m

Ответ

h_min = 16,25 m

9.Работа и энергия

Ответ: T = 113,6 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 70°) = 10,33 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

T = mg + mv²/L = 49,05 + 5·10,33/0,8 = 113,6 N

Ответ

T = 113,6 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 113,6 N.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,529 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 49,05 N

μ·mg·cos θ = 12,74 N

Работа и энергия

½mv² = (100 − 61,79)·4 = 152,8 J

v = √(2·152,8/10) = 5,529 m/s

Ответ

v = 5,529 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 2,824 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4 − 4,5)/(4 + 4,5)·3 = −0,1765 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 4,5)·3 = 2,824 m/s

Ответ

v′₂ = 2,824 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 29,05 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Составляющие импульса

p_x = 2000·18 = 36000 kg·m/s

p_y = 1000·20 = 20000 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 0,5556 → θ = 29,05°

Ответ

θ = 29,05°

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,8199 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(110/2,7) = 6,383 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 6,383·√(0,13² − 0,02²) = 0,8199 m/s

Ответ

v = 0,8199 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 1,8 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(120/4) = 5,477 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,06·5,477² = 1,8 m/s²

Ответ

a_max = 1,8 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = −0,8

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/18

d_i = 14,4 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −14,4/18 = −0,8

Ответ

m = −0,8

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −10 cm

Фокусное расстояние

f = R/2 = 15 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/6

d_i = −10 cm

Ход лучей

мнимое изображение за зеркалом

Ответ

d_i = −10 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics