Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 60 km/h, тормозит с постоянным замедлением 5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 60 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 13 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 13 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 6 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 6 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 2 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 2 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 26 m/s под углом 25° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 16 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 26 m/sθ = 25°x = 16 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с вершины скалы высотой 25 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 15 m/sθ = 30°h = 25 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 100 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 100 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 130 m имеет вираж с уклоном 20°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую скорость v_min, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вниз по виражу.

r = 130 mθ = 20°μ_s = 0,25g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1200 kg въезжает на подъём 3° с постоянной скоростью 36 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 300 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1200 kgθ = 3°F_r = 300 Nv = 36 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 10 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 2,5 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 5 kgh = 10 mR = 2,5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 5 kg, движущаяся со скоростью 9 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 1,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,2 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 40° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 1,5 kgL = 1,2 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,8 kg на пружине с k = 350 N/m оттягивают на 3 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 1,45 s (со знаком).

m = 1,8 kgk = 350 N/mA = 3 cmt = 1,45 s

x = cm

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 90 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 20 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 19 cm от положения равновесия.

k = 90 N/mA = 20 cmx = 19 cm

K = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 6 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 12 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 6 cmf = 12 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,55 и оболочка с n₂ = 1,5. Найдите наибольший угол θ_a к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n₁ = 1,55n₂ = 1,5n₀ = 1,00

θ_a = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 3,333 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16,67/5 = 3,333 s

Ответ

t = 3,333 s

2.Кинематика

Ответ: h_max = 38,61 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 13²/(2·9,81) = 8,614 m

Высота над землёй

h_max = 30 + 8,614 = 38,61 m

Ответ

h_max = 38,61 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,781 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0,25·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2165) = 2,781 m/s²

Ответ

a = 2,781 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 16,3 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 3,924)/6,5 = 6,188 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·6,188 + 3,924 = 16,3 N

Ответ

T = 16,3 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 5,2 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 26·cos 25° = 23,56 m/s

t = x/v_x = 16/23,56 = 0,679 s

Высота в этот момент

y = 10,99·0,679 − ½·9,81·0,679² = 5,2 m

Ответ

y = 5,2 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 40,89 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 30° = 12,99 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 30° = 7,5 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 25 + 7,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7,5 + √(56,25 + 490,5))/9,81 = 3,148 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 12,99·3,148 = 40,89 m

Ответ

x = 40,89 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 17,16 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·100) = 17,16 m/s

Ответ

v_max = 17,16 m/s (61,76 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 11,54 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Балансы сил

Трение направлено вверх по склону.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(130·9,81·0,1071/1,025) = 11,54 m/s

Ответ

v_min = 11,54 m/s

(41,55 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: P = 9,161 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1200·9,81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 3° = 616,1 N

F = 616,1 + 300 = 916,1 N

Мощность

v = 36/3,6 = 10 m/s

P = F·v = 916,1·10 = 9161 W = 9,161 kW

Ответ

P = 9,161 kW

10.Работа и энергия

Ответ: N = 147,2 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(10 − 5) = 98,1 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

N = mv²/R − mg = 5·98,1/2,5 − 49,05 = 147,2 N

Ответ

N = 147,2 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 4,846 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (5 − 1,5)/(5 + 1,5)·9 = 4,846 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1,5)·9 = 13,85 m/s

Ответ

v′₁ = 4,846 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 706,4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,2·(1 − cos 40°) = 0,2807 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,2807) = 2,347 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 1,505·2,347/0,005 = 706,4 m/s

Ответ

v = 706,4 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: x = 0,5991 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(350/1,8) = 13,94 rad/s

ω·t = 13,94·1,45 = 20,22 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(20,22) = 0,5991 cm

Ответ

x = 0,5991 cm

14.Пружины и маятники

Ответ: K = 0,1755 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·90·0,2² = 1,8 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·90·0,19² = 1,625 J

Кинетическая энергия

K = 1,8 − 1,625 = 0,1755 J

Ответ

K = 0,1755 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = 2

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/6

d_i = −12 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −(−12)/6 = 2

Ответ

m = 2

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_a = 22,99 °

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,5/1,55 = 0,9677 → θc = 75,41°

Числовая апертура

NA = √(1,55² − 1,5²) = 0,3905

Угол приёма

θ_a = arcsin(0,3905) = 22,99°

Ответ

θ_a = 22,99°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics