Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 50 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 11 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 11 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 35 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 20° к горизонту с силой 200 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 35 kgF = 200 Nθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 55 N тянет передний брусок массой 7 kg; брусок массой 2 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 2 kgm₂ = 7 kgF = 55 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 24 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 30 m/s под углом 45° к горизонту с вершины обрыва высотой 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v, с которой он ударяется о землю.

v₀ = 30 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 110 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 110 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1,3 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1,3 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 110 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,8. Найдите тормозной путь d.

v = 110 km/hμ = 0,8g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 5000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 0,5 kgh = 3 mL = 2,5 mμ = 0,1k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 3 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 16 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 3 kgh = 16 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 2,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,3 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 40° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 2,5 kgL = 1,3 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,6 kg на пружине с k = 390 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 4 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

m = 1,6 kgk = 390 N/mA = 4 cmx = 1 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,4 kg на пружине с k = 370 N/m оттягивают на 5 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 1,4 kgk = 370 N/mA = 5 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов имеет длину 0,6 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₁ для режима: основной тон (первая гармоника).

v = 343 m/sn = 1L = 0,6 m

f₁ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две щели на расстоянии 0,5 mm друг от друга освещаются монохроматическим светом. На экране на расстоянии 1 m светлая полоса номер 2 находится в 2,6 mm от центральной полосы. Найдите длину волны λ.

d = 0,5 mmL = 1 my₂ = 2,6 mmm = 2

λ = nm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 3,086 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13,89/4,5 = 3,086 s

Ответ

t = 3,086 s

2.Кинематика

Ответ: t = 4,189 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−40 = 11·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 11·t − 40 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (11 + √(11² + 2·9,81·40))/9,81 = 4,189 s

Ответ

t = 4,189 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,406 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 343,4 − 200·sin 20° = 274,9 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 187,9 − 68,74

a = 119,2/35 = 3,406 m/s²

Ответ

a = 3,406 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 12,22 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (55 − 17,66)/9 = 4,149 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 2·(4,149 + 1,962) = 12,22 N

Ответ

T = 12,22 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 9,658 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 35° = 19,66 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 35° = 13,77 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 13,77²/(2·9,81) = 9,658 m

Ответ

H = 9,658 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v = 35,95 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 30·cos 45° = 21,21 m/s

v_y0 = 30·sin 45° = 21,21 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(21,21² + 2·9,81·20) = 29,02 m/s

Скорость при ударе

v = √(21,21² + 29,02²) = 35,95 m/s

Ответ

v = 35,95 m/s

Проверка по энергии: v² = v₀² + 2gh.

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 25,45 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·110) = 25,45 m/s

Ответ

v_max = 25,45 m/s (91,6 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,571 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,3) = 3,571 m/s

Ответ

v_min = 3,571 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: d = 59,48 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 110/3,6 = 30,56 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30,56²/(2·0,8·9,81) = 59,48 m

Ответ

d = 59,48 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: x = 7,345 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 4,905·(3 − 0,1·2,5) = 13,49 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 13,49 → x = √(2·13,49/5000) = 0,07345 m = 7,345 cm

Ответ

x = 7,345 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 1065 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,16) = 1,772 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 3)·1,772/0,005 = 1065 m/s

Ответ

v = 1065 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 1224 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,3·(1 − cos 40°) = 0,3041 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,3041) = 2,443 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 2,505·2,443/0,005 = 1224 m/s

Ответ

v = 1224 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,6047 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(390/1,6) = 15,61 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 15,61·√(0,04² − 0,01²) = 0,6047 m/s

Ответ

v = 0,6047 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 13,21 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(370/1,4) = 16,26 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,05·16,26² = 13,21 m/s²

Ответ

a_max = 13,21 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₁ = 285,8 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 2L/n = 2·0,6/1 = 1,2 m

Частота

f = v/λ = 343/1,2 = 285,8 Hz

Ответ

f₁ = 285,8 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: λ = 650 nm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Длина волны

λ = y·d/(mL) = 0,0026·0,0005/(2·1) = 6,5 × 10⁻⁷ m = 650 nm

Ответ

λ = 650 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics