Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 90 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 90 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 10 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 14 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 10 mv_0B = 14 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 2,5 m/s и останавливается через 1,6 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 2,5 m/sd = 1,6 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 26 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 14 m/s под углом 70° к горизонту с вершины обрыва высотой 15 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 14 m/sθ = 70°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 45 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 45 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 280 m имеет вираж с уклоном 30°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 280 mθ = 30°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,4. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 3 m вдоль плоскости.

θ = 45°μ = 0,4d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1,5 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 1 kgh = 5 mL = 1,5 mμ = 0,25k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 11 kg, движущийся горизонтально со скоростью 5 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 9 kg продолжает движение вперёд со скоростью 59 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 2 kg (положительна в исходном направлении).

M = 11 kgu = 5 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 59 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,35 kg ударяется о стену со скоростью 15 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 10 m/s. Контакт длится 5 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,35 kgv_in = 15 m/sv_out = 10 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,8 kg на пружине с k = 170 N/m оттягивают на 8 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 0,5 s (со знаком).

m = 3,8 kgk = 170 N/mA = 8 cmt = 0,5 s

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 10 g, летящая со скоростью 100 m/s, попадает в брусок массой 1,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1700 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 10 gv = 100 m/sM = 1,5 kgk = 1700 N/m

A = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 1,5 cm находится в 18 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 8 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 1,5 cmd_o = 18 cmf = 8 cm

h_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,46 и оболочка с n₂ = 1,38. Найдите наибольший угол θ_a к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n₁ = 1,46n₂ = 1,38n₀ = 1,00

θ_a = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 69,44 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·4,5) = 69,44 m

Ответ

s = 69,44 m

2.Кинематика

Ответ: y = 7,497 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

10 − ½g·t² = 14·t − ½g·t² → t = 10/14 = 0,7143 s

Высота встречи

y = 14·0,7143 − ½·9,81·0,7143² = 7,497 m

Ответ

y = 7,497 m

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,1991

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 2,5²/(2·1,6) = 1,953 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,953/9,81 = 0,1991

Ответ

μ = 0,1991

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 28,69 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 6,377)/11 = 3,434 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6,5·3,434 + 6,377 = 28,69 N

Ответ

T = 28,69 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 28,3 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 65° = 10,99 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 65° = 23,56 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 23,56²/(2·9,81) = 28,3 m

Ответ

H = 28,3 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 23,82 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 14·sin 70° = 13,16 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 13,16²/(2·9,81) = 8,821 m

Высота над землёй

H = 15 + 8,821 = 23,82 m

Ответ

H = 23,82 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 13,29 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·45) = 13,29 m/s

Ответ

v_max = 13,29 m/s (47,84 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 44,44 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(280·9,81·0,5866/0,816) = 44,44 m/s

Ответ

v_max = 44,44 m/s

(160 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: v = 4,997 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·3·(0,7071 − 0,4·0,7071)) = 4,997 m/s

Ответ

v = 4,997 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 42,6 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(5 − 0,25·1,5) = 45,37 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 45,37 → x = √(2·45,37/500) = 0,426 m = 42,6 cm

Ответ

x = 42,6 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −238 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 11·5 = 55 kg·m/s

Импульс после удара

55 = 9·59 + 2·v′₂

v′₂ = (55 − 531)/2 = −238 m/s

Ответ

v′₂ = −238 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 1750 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,35·(10 + 15) = 8,75 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 8,75/0,005 = 1750 N

Ответ

F_avg = 1750 N

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,1077 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(170/3,8) = 6,689 rad/s

ω·t = 6,689·0,5 = 3,344 rad

Скорость

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,08·6,689·sin(3,344) = 0,1077 m/s

Ответ

v = 0,1077 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 1,974 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,01·100/1,51 = 0,6623 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1700/1,51) = 33,55 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 0,6623/33,55 = 0,01974 m = 1,974 cm

Ответ

A = 1,974 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = −1,2 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/18

d_i = 14,4 cm

Увеличение и высота

m = −14,4/18 = −0,8

h_i = −0,8·1,5 = −1,2 cm

Ответ

h_i = −1,2 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_a = 28,47 °

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,38/1,46 = 0,9452 → θc = 70,94°

Числовая апертура

NA = √(1,46² − 1,38²) = 0,4767

Угол приёма

θ_a = arcsin(0,4767) = 28,47°

Ответ

θ_a = 28,47°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics