Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 45 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 45 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 40 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 21 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 40 mv_0B = 21 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 50 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 50 kgθ = 15°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 50 N тянет передний брусок массой 3 kg; брусок массой 5 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 5 kgm₂ = 3 kgF = 50 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 14 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 60 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 60°h = 60 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Поворот радиусом 240 m имеет вираж с уклоном 18°. С какой скоростью v автомобиль может пройти его вообще без участия трения? Примите g = 9,81 m/s².

r = 240 mθ = 18°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 4,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 14,7 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 3 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_top трассы на тележку в верхней точке петли.

m = 4,5 kgh = 14,7 mR = 3 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 800 kg въезжает на подъём 3° с постоянной скоростью 36 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 750 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 800 kgθ = 3°F_r = 750 Nv = 36 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 5 mL = 3,5 mμ = 0,2k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3,5 kg, движущаяся со скоростью 9 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 4 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,3 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 40° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 4 kgL = 1,3 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,7 kg на пружине с k = 150 N/m оттягивают на 15 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 1,4 s (со знаком).

m = 1,7 kgk = 150 N/mA = 15 cmt = 1,4 s

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,4 kg на пружине с k = 430 N/m оттягивают на 6 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 0,4 kgk = 430 N/mA = 6 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Малый громкоговоритель излучает звуковую мощность 0,5 W одинаково во все стороны. Найдите уровень интенсивности звука β на расстоянии 20 m.

P = 0,5 Wr = 20 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 405 nm падает под прямым углом на решётку с 500 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ₃ максимума порядка 3.

N = 500 mm⁻¹λ = 405 nmm = 3

θ₃ = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 19,53 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·4) = 19,53 m

Ответ

s = 19,53 m

2.Кинематика

Ответ: t = 1,905 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

40 − ½g·t² = 21·t − ½g·t² → t = 40/21 = 1,905 s

Ответ

t = 1,905 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 245,4 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 127 + 118,4 = 245,4 N

Ответ

F = 245,4 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 31,25 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (50 − 19,62)/8 = 3,797 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(3,797 + 2,453) = 31,25 N

Ответ

T = 31,25 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 4,128 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 40° = 10,72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 40° = 8,999 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 8,999²/(2·9,81) = 4,128 m

Ответ

H = 4,128 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 7,321 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 60° = 16 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 60° = 27,71 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 60 + 27,71·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (27,71 + √(768 + 1177))/9,81 = 7,321 s

Ответ

t = 7,321 s

7.Движение по окружности

Ответ: v = 27,66 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Баланс сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Скорость

v = √(r·g·tan θ) = √(240·9,81·tan 18°) = 27,66 m/s

Ответ

v = 27,66 m/s

(99,57 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: N_top = 211,9 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·(14,7 − 2·3) = 170,7 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R − m·g = 4,5·170,7/3 − 44,15 = 211,9 N

Ответ

N_top = 211,9 N

9.Работа и энергия

Ответ: P = 11,61 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 800·9,81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 3° = 410,7 N

F = 410,7 + 750 = 1161 N

Мощность

v = 36/3,6 = 10 m/s

P = F·v = 1161·10 = 11607 W = 11,61 kW

Ответ

P = 11,61 kW

10.Работа и энергия

Ответ: x = 51,35 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(5 − 0,2·3,5) = 105,5 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 105,5 → x = √(2·105,5/800) = 0,5135 m = 51,35 cm

Ответ

x = 51,35 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 7,875 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3,5 − 4,5)/(3,5 + 4,5)·9 = −1,125 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 4,5)·9 = 7,875 m/s

Ответ

v′₂ = 7,875 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 1957 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,3·(1 − cos 40°) = 0,3041 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,3041) = 2,443 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 4,005·2,443/0,005 = 1957 m/s

Ответ

v = 1957 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = −0,7773 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(150/1,7) = 9,393 rad/s

ω·t = 9,393·1,4 = 13,15 rad

Скорость

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,15·9,393·sin(13,15) = −0,7773 m/s

Ответ

v = −0,7773 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 64,5 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(430/0,4) = 32,79 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,06·32,79² = 64,5 m/s²

Ответ

a_max = 64,5 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: β = 79,98 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Интенсивность

I = P/(4πr²) = 9,947 × 10⁻⁵ W/m²

Уровень

β = 10·log₁₀(9,947 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 79,98 dB

Ответ

β = 79,98 dB

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₃ = 37,41 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/500 mm = 2 × 10⁻⁶ m

Уравнение решётки

sin θ = mλ/d = 3·405 × 10⁻⁹/(2 × 10⁻⁶) = 0,6075

θ = 37,41°

Ответ

θ₃ = 37,41°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics