Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 19 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 4,5 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.

v_car = 19 m/sa_police = 4,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 16 m/s с края крыши на высоте 25 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 16 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 15 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 15 kgθ = 45°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 26 m/s, и он должен упасть на расстоянии 30 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 26 m/sR = 30 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 25 m/s под углом 30° к горизонту с вершины обрыва высотой 40 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 25 m/sθ = 30°h = 40 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,5 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую частоту вращения n в оборотах в минуту.

r = 2,5 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 280 m имеет вираж с уклоном 25°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 280 mθ = 25°μ_s = 0,25g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 2000 N/m. На неё кладут мяч массой 0,15 kg, сжимают пружину на 10 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,15 kgk = 2000 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2 kgh = 3 mL = 3 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4 kg, движущаяся со скоростью 10 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1100 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 2000 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 17 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1100 kgm₂ = 2000 kgd = 17 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,8 m имеет период малых колебаний 2,91 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,8 mT = 2,91 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,1 kg на пружине с k = 240 N/m оттягивают на 3 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 3,1 kgk = 240 N/mA = 3 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца имеет длину 0,8 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₁ для режима: основной тон (первая гармоника).

v = 343 m/sn = 1L = 0,8 m

f₁ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 486 nm падает под прямым углом на решётку с 500 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ₁ максимума порядка 1.

N = 500 mm⁻¹λ = 486 nmm = 1

θ₁ = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 160,4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·19/4,5 = 8,444 s

Путь

d = v·t = 19·8,444 = 160,4 m

Ответ

d = 160,4 m

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 38 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 4,416 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−25 = 16·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 16·t − 25 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (16 + √(16² + 2·9,81·25))/9,81 = 4,416 s

Ответ

t = 4,416 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,896 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 45° − 0,15·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1061) = 5,896 m/s²

Ответ

a = 5,896 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,679 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 8,584)/7 = 3,679 m/s²

Ответ

a = 3,679 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 12,9 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·30/26² = 0,4354

Угол

2θ = 25,81° → θ = 12,9°

Ответ

θ = 12,9°

Второе решение: 90° − θ = 77,1°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 47,96 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 25·sin 30° = 12,5 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 12,5²/(2·9,81) = 7,964 m

Высота над землёй

H = 40 + 7,964 = 47,96 m

Ответ

H = 47,96 m

7.Движение по окружности

Ответ: n = 29,91 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,4·2,5)) = 3,132 rad/s

Частота вращения

n = ω·60/(2π) = 29,91 rpm

Ответ

n = 29,91 rpm

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 47,19 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(280·9,81·0,6492/0,8007) = 47,19 m/s

Ответ

v_max = 47,19 m/s

(169,9 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: h = 6,796 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·2000·0,1² = 10 J

Высота

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 10/1,472 = 6,796 m

Ответ

h = 6,796 m

10.Работа и энергия

Ответ: x = 14,35 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(3 − 0,3·3) = 41,2 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 41,2 → x = √(2·41,2/4000) = 0,1435 m = 14,35 cm

Ответ

x = 14,35 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 1,429 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4 − 3)/(4 + 3)·10 = 1,429 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 3)·10 = 11,43 m/s

Ответ

v′₁ = 1,429 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 46,03 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·17) = 16,33 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3100·16,33/1100 = 46,03 m/s

Ответ

v₁ = 46,03 m/s

(165,7 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 3,73 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,8/2,91² = 3,73 m/s²

Ответ

g = 3,73 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 0,108 J

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(240/3,1) = 8,799 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·240·0,03² = 0,108 J

Ответ

E = 0,108 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₁ = 107,2 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 4L/n = 4·0,8/1 = 3,2 m

Частота

f = v/λ = 343/3,2 = 107,2 Hz

Ответ

f₁ = 107,2 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₁ = 14,06 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/500 mm = 2 × 10⁻⁶ m

Уравнение решётки

sin θ = mλ/d = 1·486 × 10⁻⁹/(2 × 10⁻⁶) = 0,243

θ = 14,06°

Ответ

θ₁ = 14,06°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics