Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 36 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 36 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 16 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 16 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 50 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 50 kgθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 8,5 kg на наклонной плоскости под углом 40° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 8,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 8,5 kgm₂ = 8,5 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 24 m/s, и он должен упасть на расстоянии 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 24 m/sR = 20 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 28 m/s под углом 60° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 21 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 28 m/sθ = 60°h_roof = 21 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Дорожный инженер хочет, чтобы автомобили проходили поворот радиусом 320 m со скоростью 80 km/h, не полагаясь на трение. Примите g = 9,81 m/s². Найдите угол виража θ.

r = 320 mv = 80 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 4 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,9 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 1 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_top трассы на тележку в верхней точке петли.

m = 4 kgh = 2,9 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 0,2 kg висит на лёгкой нити длиной 1 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 90° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 0,2 kgL = 1 mθ = 90°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 3 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,1). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 5 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 2 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgμ = 0,1d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 6 kg, движущийся горизонтально со скоростью 16 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 5 kg продолжает движение вперёд со скоростью 58 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 1 kg (положительна в исходном направлении).

M = 6 kgu = 16 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 58 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,15 kg ударяется о стену со скоростью 21 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 14 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,15 kgv_in = 21 m/sv_out = 14 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,9 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 5 g, летящая со скоростью 500 m/s, попадает в брусок массой 1,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1600 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 5 gv = 500 m/sM = 1,5 kgk = 1600 N/m

A = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца должна иметь следующий режим на частоте 429 Hz: гармоника номер 5. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 5f₅ = 429 Hz

L = m

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный парковочный датчик посылает ультразвук 35 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 25 m/s. Найдите частоту f″ эха, принятого обратно датчиком (скорость звука 343 m/s).

f = 35 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 16,67 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·3) = 16,67 m

Ответ

s = 16,67 m

2.Кинематика

Ответ: t = 4,92 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−40 = 16·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 16·t − 40 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (16 + √(16² + 2·9,81·40))/9,81 = 4,92 s

Ответ

t = 4,92 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 372,7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 245,2 + 127,4 = 372,7 N

Ответ

F = 372,7 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,001 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 83,39 N

m₁·g·sin θ = 53,6 N

μ·m₁·g·cos θ = 12,78 N

Ускорение системы

a = (83,39 − 53,6 − 12,78)/17 = 1,001 m/s²

Ответ

a = 1,001 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 9,957 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·20/24² = 0,3406

Угол

2θ = 19,91° → θ = 9,957°

Ответ

θ = 9,957°

Второе решение: 90° − θ = 80,04°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 53,54 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 14 m/s, v_y = 24,25 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

21 = 24,25·t − 4,905·t²

t = (24,25 + √(24,25² − 2·9,81·21))/9,81 = 3,824 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 14·3,824 = 53,54 m

Ответ

x = 53,54 m

7.Движение по окружности

Ответ: θ = 8,94 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Единицы

v = 80/3,6 = 22,22 m/s

Угол виража

tan θ = v²/(r·g) = 22,22²/(320·9,81) = 0,1573

θ = 8,94°

Ответ

θ = 8,94°

8.Движение по окружности

Ответ: N_top = 31,39 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·(2,9 − 2·1) = 17,66 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R − m·g = 4·17,66/1 − 39,24 = 31,39 N

Ответ

N_top = 31,39 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 5,886 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·1·(1 − cos 90°) = 19,62 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·19,62/1 = 5,886 N

Ответ

T = 5,886 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 5,886 N.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 4,801 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 49,05·2 = 98,1 J

μ·m₁g·d = 0,1·29,43·2 = 5,886 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 92,21 → v = √(2·92,21/8) = 4,801 m/s

Ответ

v = 4,801 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −194 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 6·16 = 96 kg·m/s

Импульс после удара

96 = 5·58 + 1·v′₂

v′₂ = (96 − 290)/1 = −194 m/s

Ответ

v′₂ = −194 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 5,25 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,15·(14 + 21) = 5,25 N·s

Ответ

J = 5,25 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 2,09 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,9/2π)² = 2,09 m

Ответ

L = 2,09 m

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 5,095 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,005·500/1,505 = 1,661 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1600/1,505) = 32,61 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 1,661/32,61 = 0,05095 m = 5,095 cm

Ответ

A = 5,095 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,9994 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/429 = 0,7995 m

Длина

L = nλ/4 = 5·0,7995/4 = 0,9994 m

Ответ

L = 0,9994 m

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f″ = 40503 Hz

Частота у автомобиля

f′ = 35000·(343 + 25)/343 = 37551 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 25) = 40503 Hz

Ответ

f″ = 40503 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics