Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 60 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 60 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 12 m/s с края крыши на высоте 35 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 25 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 35° к горизонту с силой 150 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 25 kgF = 150 Nθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 38 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с вершины скалы высотой 40 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 27 m/sθ = 20°h = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,2 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 45° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 1,2 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 18 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 4 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_bottom трассы на тележку в нижней точке петли.

m = 1 kgh = 18 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 10 m по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,4. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 35°μ = 0,4d = 10 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 5 kgh = 1 mL = 5 mμ = 0,1k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 1,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 11 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 1,5 kgh = 11 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 4 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,3 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 10° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 8 gM = 4 kgL = 1,3 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,9 kg на пружине с k = 160 N/m оттягивают на 18 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 1,9 kgk = 160 N/mA = 18 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 60 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 30 cm. Найдите расстояние до изображения d_i. Используйте правило знаков 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для рассеивающей линзы, d_i < 0 для мнимого изображения).

d_o = 60 cmf = 30 cm

d_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный датчик посылает ультразвук 30 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 30 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений f_b (скорость звука 343 m/s).

f = 30 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 46,3 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·3) = 46,3 m

Ответ

s = 46,3 m

2.Кинематика

Ответ: t = 4,161 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−35 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 35 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·35))/9,81 = 4,161 s

Ответ

t = 4,161 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,004 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 150·sin 35° = 159,2 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 122,9 − 47,76

a = 75,11/25 = 3,004 m/s²

Ответ

a = 3,004 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 20,6 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 6,867)/7 = 3,924 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3,5·3,924 + 6,867 = 20,6 N

Ответ

T = 20,6 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 127,5 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 60° = 19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 60° = 32,91 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·32,91/9,81 = 6,709 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 19·6,709 = 127,5 m

Ответ

x = 127,5 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,948 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 20° = 25,37 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 20° = 9,235 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 40 + 9,235·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,235 + √(85,28 + 784,8))/9,81 = 3,948 s

Ответ

t = 3,948 s

7.Движение по окружности

Ответ: v = 2,885 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,2·sin 45° = 0,8485 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,8485·9,81·tan 45°) = 2,885 m/s

Ответ

v = 2,885 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: N_bottom = 98,1 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·18 = 353,2 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R + m·g = 1·353,2/4 + 9,81 = 98,1 N

Ответ

N_bottom = 98,1 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 128,6 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,8192 = 32,14 N

F = μN = 0,4·32,14 = 12,86 N

Работа против трения

W_f = F·d = 12,86·10 = 128,6 J

Ответ

W_f = 128,6 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 11,07 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(1 − 0,1·5) = 24,53 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 24,53 → x = √(2·24,53/4000) = 0,1107 m = 11,07 cm

Ответ

x = 11,07 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 111,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,11) = 1,469 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 1,5)·1,469/0,02 = 111,7 m/s

Ответ

v = 111,7 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 311,9 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,3·(1 − cos 10°) = 0,01975 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,01975) = 0,6225 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 4,008·0,6225/0,008 = 311,9 m/s

Ответ

v = 311,9 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,2485 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1/2π)² = 0,2485 m

Ответ

L = 0,2485 m

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 2,592 J

Угловая частота

ω = √(160/1,9) = 9,177 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·160·0,18² = 2,592 J

Ответ

E = 2,592 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = 60 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/60

d_i = 60 cm

Ход лучей

действительное, по другую сторону линзы

Ответ

d_i = 60 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f_b = 5751 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Частота у автомобиля

f′ = 30000·(343 + 30)/343 = 32624 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 30) = 35751 Hz

Частота биений

f_b = |f″ − f| = 5751 Hz

Ответ

f_b = 5751 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics