Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 72 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,4 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 72 km/ht_r = 1,4 sa = −4,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 7 m/s с края крыши на высоте 10 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 7 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 18 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 18 kgθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 30° со скоростью 7 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 7 m/sθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 32 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 28 m/s под углом 50° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 13 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 28 m/sθ = 50°h_roof = 13 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 30 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 30 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Небольшую тележку отпускают без начальной скорости на трассе без трения, и она въезжает в вертикальную петлю радиусом 1 m. С какой наименьшей высоты h_min над нижней точкой петли она должна стартовать, чтобы удержаться на трассе в верхней точке петли?

R = 1 mv₀ = 0

h_min = m

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 120 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,7. Найдите тормозной путь d.

v = 120 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 22,5 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 5 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 5 kgh = 22,5 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 6 kg, движущийся горизонтально со скоростью 18 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 2 kg продолжает движение вперёд со скоростью 52 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 4 kg (положительна в исходном направлении).

M = 6 kgu = 18 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 52 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,4 kg ударяется о стену со скоростью 14 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 16 m/s. Контакт длится 5 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,4 kgv_in = 14 m/sv_out = 16 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,4 kg на пружине с k = 50 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 13 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 4 cm от положения равновесия.

m = 0,4 kgk = 50 N/mA = 13 cmx = 4 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,7 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 160 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 1,7 kgk = 160 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца должна иметь следующий режим на частоте 114 Hz: основной тон (первая гармоника). Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 1f₁ = 114 Hz

L = m

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 10 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 10 cm и линза 2 с f₂ = 8 cm. Предмет находится в 15 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 10 cmf₂ = 8 cms = 10 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 72,44 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 20·1,4 = 28 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·4,5) = 44,44 m

Итого

d = 28 + 44,44 = 72,44 m

Ответ

d = 72,44 m

2.Кинематика

Ответ: t = 2,31 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−10 = 7·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 7·t − 10 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (7 + √(7² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,31 s

Ответ

t = 2,31 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,631 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0,15·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1299) = 3,631 m/s²

Ответ

a = 3,631 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 3,287 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 30° + 0,3·cos 30°) = 7,454 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 7²/(2·7,454) = 3,287 m

Ответ

d = 3,287 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 35,02 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 55° = 18,35 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 55° = 26,21 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 26,21²/(2·9,81) = 35,02 m

Ответ

H = 35,02 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 65,62 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 18 m/s, v_y = 21,45 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

13 = 21,45·t − 4,905·t²

t = (21,45 + √(21,45² − 2·9,81·13))/9,81 = 3,646 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 18·3,646 = 65,62 m

Ответ

x = 65,62 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 12,13 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·30) = 12,13 m/s

Ответ

v_max = 12,13 m/s (43,67 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: h_min = 2,5 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Условие в верхней точке

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон сохранения энергии

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·1 = 2,5 m

Ответ

h_min = 2,5 m

9.Работа и энергия

Ответ: d = 80,9 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 120/3,6 = 33,33 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33,33²/(2·0,7·9,81) = 80,9 m

Ответ

d = 80,9 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: N = 196,2 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(22,5 − 10) = 245,3 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

N = mv²/R − mg = 5·245,3/5 − 49,05 = 196,2 N

Ответ

N = 196,2 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 6·18 = 108 kg·m/s

Импульс после удара

108 = 2·52 + 4·v′₂

v′₂ = (108 − 104)/4 = 1 m/s

Ответ

v′₂ = 1 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 2400 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,4·(16 + 14) = 12 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 12/0,005 = 2400 N

Ответ

F_avg = 2400 N

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 1,383 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(50/0,4) = 11,18 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 11,18·√(0,13² − 0,04²) = 1,383 m/s

Ответ

v = 1,383 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,011 m/s

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 1,7·9,81/160 = 0,1042 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(160/1,7) = 9,701 rad/s

v_max = A·ω = 0,1042·9,701 = 1,011 m/s

Ответ

v_max = 1,011 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,7522 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/114 = 3,009 m

Длина

L = nλ/4 = 1·3,009/4 = 0,7522 m

Ответ

L = 0,7522 m

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = 5,714 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/10 − 1/15 → d_i1 = 30 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 10 − 30 = −20 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/8 − 1/(−20) → d_i2 = 5,714 cm

Ответ

d_i2 = 5,714 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics