Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 108 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 108 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 38 m/s², направленное вверх, в течение 2,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 38 m/s²t₁ = 2,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 5,5 m/s и останавливается через 3,9 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 5,5 m/sd = 3,9 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 9 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 70° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 36 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с вершины скалы высотой 50 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 16 m/sθ = 30°h = 50 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 95 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 95 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,7 kg на лёгкой нити длиной 0,7 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 11 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,7 kgr = 0,7 mv_bottom = 11 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 1 kg висит на лёгкой нити длиной 2 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 70° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 1 kgL = 2 mθ = 70°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 15° и тянется вверх по ней постоянной силой 15 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 8 m вверх по плоскости.

m = 2 kgF = 15 Nθ = 15°μ = 0,2d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 1,5 kg, движущаяся со скоростью 7 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 1,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,35 kg ударяется о стену со скоростью 8 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 12 m/s. Контакт длится 5 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,35 kgv_in = 8 m/sv_out = 12 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 2 m имеет период малых колебаний 2,98 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 2 mT = 2,98 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,7 kg на пружине с k = 380 N/m оттягивают на 9 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 1,7 kgk = 380 N/mA = 9 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 1200 Hz, движущийся со скоростью 25 m/s, и наблюдатель, движущийся со скоростью 5 m/s, удаляются друг от друга. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 1200 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 25 cm перед выпуклым зеркалом с радиусом кривизны 24 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 25 cmR = 24 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 4 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/7,5 = 4 s

Ответ

t = 4 s

2.Кинематика

Ответ: h_max = 578,7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активный участок

v₁ = 38·2,5 = 95 m/s

h₁ = ½·38·2,5² = 118,8 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 95²/(2·9,81) = 460 m

h_max = 118,8 + 460 = 578,7 m

Ответ

h_max = 578,7 m

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,3953

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 5,5²/(2·3,9) = 3,878 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3,878/9,81 = 0,3953

Ответ

μ = 0,3953

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 30,9 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 22,07)/12,5 = 0,981 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·0,981 + 22,07 = 30,9 N

Ответ

T = 30,9 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 58,33 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 70° = 12,31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 70° = 33,83 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 33,83²/(2·9,81) = 58,33 m

Ответ

H = 58,33 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 56,96 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 30° = 13,86 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 30° = 8 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 50 + 8·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8 + √(64 + 981))/9,81 = 4,111 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 13,86·4,111 = 56,96 m

Ответ

x = 56,96 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 27,3 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·95) = 27,3 m/s

Ответ

v_max = 27,3 m/s (98,3 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 86,66 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 11² − 4·9,81·0,7 = 93,53 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,7·93,53/0,7 − 0,7·9,81 = 86,66 N

Ответ

T_top = 86,66 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 22,72 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 70°) = 25,82 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

T = mg + mv²/L = 9,81 + 1·25,82/2 = 22,72 N

Ответ

T = 22,72 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 22,72 N.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,004 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 5,078 N

μ·mg·cos θ = 3,79 N

Работа и энергия

½mv² = (15 − 8,868)·8 = 49,05 J

v = √(2·49,05/2) = 7,004 m/s

Ответ

v = 7,004 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −1 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (1,5 − 2)/(1,5 + 2)·7 = −1 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 2)·7 = 6 m/s

Ответ

v′₁ = −1 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 1400 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,35·(12 + 8) = 7 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 7/0,005 = 1400 N

Ответ

F_avg = 1400 N

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 8,891 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/2,98² = 8,891 m/s²

Ответ

g = 8,891 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 1,539 J

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(380/1,7) = 14,95 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·380·0,09² = 1,539 J

Ответ

E = 1,539 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 1102 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1200·(343 − 5)/(343 + 25)

f′ = 1102 Hz

Ответ

f′ = 1102 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −8,108 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Фокусное расстояние

f = −R/2 = −12 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−12) − 1/25

d_i = −8,108 cm

Ход лучей

мнимое изображение за зеркалом

Ответ

d_i = −8,108 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics