Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 2,75 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 900 m.

v₀ = 0a = 2,75 m/s²s = 900 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 12 m/s с края крыши на высоте 10 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 12 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 15 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 15 kgθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 2,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 16 m/s под углом 35° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 10 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 16 m/sθ = 35°x = 10 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с вершины скалы высотой 50 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 14 m/sθ = 40°h = 50 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,4 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 60° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 1,4 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,2 kg на нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,2 kgr = 0,9 mv = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 0,2 kg висит на лёгкой нити длиной 2 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 60° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 0,2 kgL = 2 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 10 kgh = 4 mL = 3,5 mμ = 0,15k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 800 kg, движущийся со скоростью 12 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1700 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 800 kgv₁ = 12 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,15 kg ударяется о стену со скоростью 14 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 16 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,15 kgv_in = 14 m/sv_out = 16 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,8 kg на пружине с k = 260 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 11 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 8 cm от положения равновесия.

m = 2,8 kgk = 260 N/mA = 11 cmx = 8 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,6 kg на пружине с k = 160 N/m оттягивают на 11 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 2,6 kgk = 160 N/mA = 11 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Струна, закреплённая с обоих концов имеет длину 1,5 m; волны бегут по ней со скоростью 120 m/s. Найдите частоту f₃ для режима: гармоника номер 3.

v = 120 m/sn = 3L = 1,5 m

f₃ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 589 nm проходит через одиночную щель шириной 0,15 mm. Найдите угол θ₂ тёмной полосы номер 2 относительно направления прямого прохождения.

λ = 589 nma = 0,15 mmm = 2

θ₂ = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 70,36 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·2,75·900) = 70,36 m/s

Ответ

v = 70,36 m/s

(253,3 km/h)

2.Кинематика

Ответ: h_max = 17,34 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 12²/(2·9,81) = 7,339 m

Высота над землёй

h_max = 10 + 7,339 = 17,34 m

Ответ

h_max = 17,34 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,479 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 25° − 0,3·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2719) = 1,479 m/s²

Ответ

a = 1,479 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,723 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 0)/6 = 5,723 m/s²

Ответ

a = 5,723 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 4,147 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 16·cos 35° = 13,11 m/s

t = x/v_x = 10/13,11 = 0,763 s

Высота в этот момент

y = 9,177·0,763 − ½·9,81·0,763² = 4,147 m

Ответ

y = 4,147 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,239 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 40° = 10,72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 40° = 8,999 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 50 + 8,999·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,999 + √(80,98 + 981))/9,81 = 4,239 s

Ответ

t = 4,239 s

7.Движение по окружности

Ответ: v = 4,539 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,4·sin 60° = 1,212 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,212·9,81·tan 60°) = 4,539 m/s

Ответ

v = 4,539 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 77,11 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,2·9,81 + 1,2·7²/0,9 = 11,77 + 65,33 = 77,11 N

Ответ

T = 77,11 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 3,924 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 60°) = 19,62 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·19,62/2 = 3,924 N

Ответ

T = 3,924 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 3,924 N.

10.Работа и энергия

Ответ: x = 116,8 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(4 − 0,15·3,5) = 340,9 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 340,9 → x = √(2·340,9/500) = 1,168 m = 116,8 cm

Ответ

x = 116,8 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 68 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·12/2500 = 3,84 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·800·12² = 57600 J

K_after = ½·2500·3,84² = 18432 J

Потерянная доля

ΔK/K = 39168/57600 = 68 %

Ответ

ΔK/K = 68 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 4,5 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,15·(16 + 14) = 4,5 N·s

Ответ

J = 4,5 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,7275 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(260/2,8) = 9,636 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 9,636·√(0,11² − 0,08²) = 0,7275 m/s

Ответ

v = 0,7275 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 0,968 J

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(160/2,6) = 7,845 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·160·0,11² = 0,968 J

Ответ

E = 0,968 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₃ = 120 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 2L/n = 2·1,5/3 = 1 m

Частота

f = v/λ = 120/1 = 120 Hz

Ответ

f₃ = 120 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₂ = 0,45 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Условие тёмной полосы

sin θ = mλ/a = 0,007853

θ = 0,45°

Ответ

θ₂ = 0,45°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics